Bilangan real dan operasinya merupakan dasar penting dalam mempelajari berbagai konsep matematika. Pada materi ini, kamu akan mempelajari klasifikasi dan sistem bilangan real, sifat-sifat operasi hitung dan struktur aljabar, aturan ketaksamaan atau urutan bilangan real, serta eksponen dan bentuk akar.
📚 Kompetensi:
Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait:
•
Jenis dan sifat bilangan
•
Operasi bilangan (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan gabungannya) beserta sifat-sifatnya antara lain komutatif, asosiatif, dan distributif.
Wise Quote:
"Engkau beribadah kepada Allah seakan-akan engkau melihat-Nya. Jika engkau tidak melihat-Nya, sesungguhnya Dia pasti melihatmu." (HR Muslim)
A. Klasifikasi dan Sistem Bilangan Real
1. Bilangan Asli ($\mathbb{N}$)
Bilangan yang digunakan untuk menghitung objek fisik. Dimulai dari angka 1.
$\mathbb{N}=\left\{1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;...\right\}$
2. Bilangan Cacah ($\mathbb{C}$)
Gabungan antara bilangan asli dengan angka nol.
$\mathbb{C}=\left\{0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;...\right\}$
3. Bilangan Bulat ($\mathbb{Z}$)
Terdiri dari bilangan bulat negatif, mol, dan bilangan bulat postifi.
$\mathbb{Z}=\left\{...,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;...\right\}$
4. Bilangan Rasional ($\mathbb{Q}$)
Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa $\frac ab$, dengan syarat $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, serta $b\neq0$. Ada dua karakteristik desimal bilangan rasional, yaitu desimalnya akan berakhir (terbatas) atau desimalnya memiliki pola berulang secara teratur.
Contoh:
$\bullet\;\frac34=0,75$ (terbatas)
$\bullet\;\frac13=0,333...,$ (berulang teratur, dapat ditulis $0,3$)
$\bullet\;\frac51=5$ (semua bilangan bulat adalah bilangan rasional)
5. Bilangan Irasional ($\mathbb{I}$)
Bilangan rael yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa $\frac ab$. Ada satu karakteristik desimal bilangan irasional, yaitu desimalnya tidak akan pernah berakhir (terbatas) dan tidak membentuk pola berulang secara teratur.
Contoh:
$\bullet\;\sqrt2\approx1,41421356...$
$\bullet\;\pi\approx3,14159265...$
$\bullet\;e\approx2,71828182...$
Bilangan yang digunakan untuk menghitung objek fisik. Dimulai dari angka 1.
$\mathbb{N}=\left\{1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;...\right\}$
2. Bilangan Cacah ($\mathbb{C}$)
Gabungan antara bilangan asli dengan angka nol.
$\mathbb{C}=\left\{0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;...\right\}$
3. Bilangan Bulat ($\mathbb{Z}$)
Terdiri dari bilangan bulat negatif, mol, dan bilangan bulat postifi.
$\mathbb{Z}=\left\{...,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;...\right\}$
4. Bilangan Rasional ($\mathbb{Q}$)
Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa $\frac ab$, dengan syarat $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, serta $b\neq0$. Ada dua karakteristik desimal bilangan rasional, yaitu desimalnya akan berakhir (terbatas) atau desimalnya memiliki pola berulang secara teratur.
Contoh:
$\bullet\;\frac34=0,75$ (terbatas)
$\bullet\;\frac13=0,333...,$ (berulang teratur, dapat ditulis $0,3$)
$\bullet\;\frac51=5$ (semua bilangan bulat adalah bilangan rasional)
5. Bilangan Irasional ($\mathbb{I}$)
Bilangan rael yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa $\frac ab$. Ada satu karakteristik desimal bilangan irasional, yaitu desimalnya tidak akan pernah berakhir (terbatas) dan tidak membentuk pola berulang secara teratur.
Contoh:
$\bullet\;\sqrt2\approx1,41421356...$
$\bullet\;\pi\approx3,14159265...$
$\bullet\;e\approx2,71828182...$
$ax^2+bx+c=0$, dengan $a,\;b,\;c\in\mathbb{R}$ dan $a\neq0$
Dalam persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, $a$ adalah koefisien dari $x^2$, $b$ adalah koefisien dari $x$, dan $c$ adalah konstanta.💡 INGAT!
Suatu persamaan disebut persamaan kuadrat jika pangkat tertinggi variabelnya adalah 2 dan koefisien $x^2$ tidak sama dengan nol $(a\neq0)$.
Suatu persamaan disebut persamaan kuadrat jika pangkat tertinggi variabelnya adalah 2 dan koefisien $x^2$ tidak sama dengan nol $(a\neq0)$.
2. Sifat-Sifat Operasi Hitung dan Struktur Aljabar
Akar atau solusi persamaan kuadrat adalah nilai-nilai pengganti variabel yang memenuhi persamaan kuadrat. Akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan beberapa metode, yaitu:
1. Faktorisasi
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
3. Rumus kuadrat (rumus ABC)
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
Bentuk kuadrat sempurna dapat ditulis sebagai $\left(x\pm a\right)^2=h$. Langkah-langkah mencari akar dengan metode ini adalah sebagai berikut:
1. Faktorisasi
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
3. Rumus kuadrat (rumus ABC)
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
Bentuk kuadrat sempurna dapat ditulis sebagai $\left(x\pm a\right)^2=h$. Langkah-langkah mencari akar dengan metode ini adalah sebagai berikut:
1. $x^2\pm bx+c=0$, jika koefisien $x^2$ belum 1 maka ubahlah terlebih dahulu menjadi 1
2. Pindahkan konstanta dari ruas kiri ke ruas kanan
$\;\;\;x^2\pm bx=-c$
3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left(\frac b2\right)^2$
$\;\;\;x^2\pm bx+\left(\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
4. Selesaikan persamaan dengan cara berikut
$\;\;\;\left(x\pm\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
2. Pindahkan konstanta dari ruas kiri ke ruas kanan
$\;\;\;x^2\pm bx=-c$
3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left(\frac b2\right)^2$
$\;\;\;x^2\pm bx+\left(\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
4. Selesaikan persamaan dengan cara berikut
$\;\;\;\left(x\pm\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
3. Aturan Ketaksamaan (Urutan) Bilangan Real
Misalkan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan $a\neq0$, maka berlaku hubungan berikut:
1. Jumlah akar
$\;\;\;x_1+x_2=-\frac ba$
1. Jumlah akar
$\;\;\;x_1+x_2=-\frac ba$
4. Eksponen dan Bentuk Akar
Jika diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, maka persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, dapat dicari dengan cara sebagai berikut:
$x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang menyusun persamaan kuadrat baru. Semoga bermanfaat!
Contoh 1
Persamaan kuadrat $2x^2+3x-2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\frac\alpha\beta$ dan $\frac\beta\alpha$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: a
Catatan:
Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$:
$\boxed{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0}$
Penyelesaian:Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$:
$\boxed{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0}$
Akar-akar persamaan $2x^2+3x-2=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka berlaku:
$\begin{array}{rcl}\alpha+\beta&=&-\frac ba\\&=&\boxed{-\frac32}\end{array}$
$\begin{array}{rcl}\alpha\beta&=&\frac ca\\&=&\frac{-2}{2}\\&=&\boxed{-1}\end{array}$
Misal, akar-akar persamaan kuadrat baru adalah $p=\frac\alpha\beta$ dan $q=\frac\beta\alpha$, maka:
$\begin{array}{rcl}p+q&=&\frac\alpha\beta+\frac\beta\alpha\\&=&\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\\&=&\frac{(\alpha+\beta)^2-2(\alpha\beta)}{\alpha\beta}\\&=&\frac{\left(-\frac32\right)^2-2(-1)}{-1}\\&=&\frac{\left(\frac94+2\right)}{-1}\\&=&\frac{\left(\frac94+\frac84\right)}{-1}\\&=&\frac{\left(\frac{17}4\right)}{-1}\\&=&\boxed{-\frac{17}4}\end{array}$
$\begin{array}{rcl}pq&=&\frac\alpha\beta\times\frac\beta\alpha\\&=&\frac{\alpha\beta}{\alpha\beta}\\&=&\boxed{1}\end{array}$
Sehingga persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $p=\frac\alpha\beta$ dan $q=\frac\beta\alpha$ adalah:
$\begin{array}{rcl}x^2-(p+q)x+pq&=&0\\x^2-\left(-\frac{17}4\right)x+1&=&0\\x^2+\frac{17}4x+1&=&0\Rightarrow\text{dikali }\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\\4x^2+17x+4&=&0\end{array}$
Tags:
TKA