Barisan dan deret aritmetika merupakan materi matematika yang membahas pola bilangan dengan selisih tetap antarsuku. Pada materi ini, kamu akan mempelajari pengertian barisan dan deret, rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama, suku tengah, sisipan, serta contoh soal dan pembahasannya.
📚 Apa yang dipelajari?
Dalam materi ini, kita akan mempelajari: Definisi Barisan dan Deret serta Barisan dan Deret Aritmetika.
Wise Quote:
"Jangan terlalu bergantung pada siapa pun di dunia ini. Karena bayanganmu saja akan meninggalkanmu di saat gelap." (Ibnu Taymiyyah).
1. Definisi Barisan dan Deret
1. Barisan
Barisan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut pola atau aturan tertentu. Barisan suku ke-1 sampai suku ke-n dapat dituliskan sebagai berikut:
Deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Secara umum deret suku ke-1 sampai suku ke-n dapat dituliskan:
Jika $S_n$ menyatakan jumlah $n$ suku pertama suatu deret, maka suku ke-$n$ dapat ditentukan dengan hubungan:
Barisan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut pola atau aturan tertentu. Barisan suku ke-1 sampai suku ke-n dapat dituliskan sebagai berikut:
$U_1,\;U_2,\;U_3,\;...,\;U_{n-1},\;U_n$
2. DeretDeret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Secara umum deret suku ke-1 sampai suku ke-n dapat dituliskan:
$U_1+U_2+U_3+\;...+U_{n-1}+U_n$
3. Hubungan Barisan Dan DeretJika $S_n$ menyatakan jumlah $n$ suku pertama suatu deret, maka suku ke-$n$ dapat ditentukan dengan hubungan:
$U_n=S_n-S_{\left(n-1\right)}$
2. Barisan dan Deret Aritmetika
1. Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah:
$U_n=$ suku ke-n
$a=$ suku pertama
$b=$ beda
Deret aritmetika adalah penjumlahan suatu barisan bilangan yang selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah:
$S_n=$ jumlah n suku pertama
$a=$ suku pertama
$b=$ beda
Selain itu, untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika juga bisa menggunakan rumus sebagai berikut:
$S_n=$ jumlah n suku pertama
$a=$ suku pertama
$U_n=$ suku ke-n
3. Suku Tengah Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil selalu memiliki suku tengah yang dinotasikan dengan $U_t$ yang dirumuskan sebagai berikut:
$U_t=$ suku tengah
$a=$ suku pertama
$U_n=$ suku terakhir
Selain itu, untuk menentukan letak/posisi suku tengah dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
$t=$ letak/posisi suku tengah
$n=$ banyak suku
4. Sisipan Barisan Aritmetika
Jika di antara dua suku barisan aritmetika disisipkan $m$ bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, maka untuk menentukan banyaknya suku setelah disisipkan adalah sebagai berikut:
$n=$ banyak suku sebelum sisipan
$n'=$ jumlah suku setelah sisipan
$m=$ banyak sisipan
Selain itu, untuk menentukan beda barisan baru setelah disisipkan dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
$b=$ beda barisan sebelum sisipan
$b'=$ beda barisan baru setelah sisipan
$m=$ banyak sisipan
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami barisan dan deret aritmetika. Semoga bermanfaat!
Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah:
$U_n=a+\left(n-1\right)b$
Keterangan:$U_n=$ suku ke-n
$a=$ suku pertama
$b=$ beda
💡 INGAT!
Pada barisan aritmetika, beda dapat ditentukan dengan $b=U_n-U_{\left(n-1\right)}$. Karena bedanya tetap, setiap suku diperoleh dengan menambah atau mengurangi nilai yang sama.
2. Deret AritmetikaPada barisan aritmetika, beda dapat ditentukan dengan $b=U_n-U_{\left(n-1\right)}$. Karena bedanya tetap, setiap suku diperoleh dengan menambah atau mengurangi nilai yang sama.
Deret aritmetika adalah penjumlahan suatu barisan bilangan yang selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah:
$S_n=\frac n2\left(2a+\left(n-1\right)b\right)$
Keterangan:$S_n=$ jumlah n suku pertama
$a=$ suku pertama
$b=$ beda
Selain itu, untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika juga bisa menggunakan rumus sebagai berikut:
$S_n=\frac n2\left(a+U_n\right)$
Keterangan:$S_n=$ jumlah n suku pertama
$a=$ suku pertama
$U_n=$ suku ke-n
3. Suku Tengah Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil selalu memiliki suku tengah yang dinotasikan dengan $U_t$ yang dirumuskan sebagai berikut:
$U_t=\frac{a+U_n}2$
Keterangan:$U_t=$ suku tengah
$a=$ suku pertama
$U_n=$ suku terakhir
Selain itu, untuk menentukan letak/posisi suku tengah dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
$t=\frac{n+1}2$
Keterangan:$t=$ letak/posisi suku tengah
$n=$ banyak suku
4. Sisipan Barisan Aritmetika
Jika di antara dua suku barisan aritmetika disisipkan $m$ bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, maka untuk menentukan banyaknya suku setelah disisipkan adalah sebagai berikut:
$n'=n+\left(n-1\right)m$
Keterangan:$n=$ banyak suku sebelum sisipan
$n'=$ jumlah suku setelah sisipan
$m=$ banyak sisipan
Selain itu, untuk menentukan beda barisan baru setelah disisipkan dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
$b'=\frac b{m+1}$
Keterangan:$b=$ beda barisan sebelum sisipan
$b'=$ beda barisan baru setelah sisipan
$m=$ banyak sisipan
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami barisan dan deret aritmetika. Semoga bermanfaat!
Contoh 1
Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah $110$ dan $150$. Suku ke-30 barisan aritmetika tersebut adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: b
Penyelesaian:Jabarkan dua suku yang diketahui menggunakan rumus suku ke-n:
$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_4&=&a+\left(4-1\right)b\\110&=&a+3b\Rightarrow\left(\text{persamaan 1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\right)\end{array}$
$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_9&=&a+\left(9-1\right)b\\150&=&a+8b\Rightarrow\left(\text{persamaan 2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\right)\end{array}$
Eliminasi $a$ pada persamaan 1 dan 2:
$\frac{\begin{array}{rcl}a+8b&=&150\\a+3b&=&110\end{array}}{\begin{array}{rcl}\;\;\;\;5b&=&40\\b&=&\textstyle\frac{40}5\\b&=&\boxed8\end{array}}-$
Substitusi $b=8$ ke persamaan 1 atau 2 (pilih salah satu saja):
$\begin{array}{rcl}a+8b&=&150\\a+8\left(8\right)&=&150\\a+64&=&150\\a&=&150-64\\a&=&\boxed{86}\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_{30}&=&a+\left(30-1\right)b\\&=&a+29b\\&=&86+29\left(8\right)\\&=&86+232\\&=&\boxed{318}\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: b
Rumus Ninja:
$\bullet$ $b=\frac{U_n-U_m}{n-m}$
$\bullet$ $U_k=U_m+\left(k-m\right)b$
$\bullet$ $b=\frac{U_n-U_m}{n-m}$
$\bullet$ $U_k=U_m+\left(k-m\right)b$
Langkah Ninja:
Menentukan nilai beda $\left(b\right)$ dengan rumus berikut:$\begin{array}{rcl}b&=&\frac{U_n-U_m}{n-m}\\&=&\frac{U_4-U_9}{4-9}\\&=&\frac{110-150}{4-9}\\&=&\frac{-40}{-5}\\&=&\boxed8\end{array}$
Menentukan nilai suku ke-n dengan rumus berikut:
$\begin{array}{rcl}U_k&=&U_m+\left(k-m\right)b\\U_{30}&=&U_4+\left(30-4\right)8\\&=&110+\left(26\right)8\\&=&110+208\\&=&\boxed{318}\end{array}$
atau:
$\begin{array}{rcl}U_k&=&U_m+\left(k-m\right)b\\U_{30}&=&U_9+\left(30-9\right)8\\&=&150+\left(21\right)8\\&=&150+168\\&=&\boxed{318}\end{array}$
Contoh 2
Suku ke-5 dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah $35$ dan $15$. Suku ke-12 barisan aritmetika tersebut adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: c
Penyelesaian:Jabarkan dua suku yang diketahui menggunakan rumus suku ke-n:
$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_5&=&a+\left(5-1\right)b\\35&=&a+4b\Rightarrow\left(\text{persamaan 1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\right)\end{array}$
$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_9&=&a+\left(9-1\right)b\\15&=&a+8b\Rightarrow\left(\text{persamaan 2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\right)\end{array}$
Eliminasi $a$ pada persamaan 1 dan 2:
$\frac{\begin{array}{rcl}a+8b&=&15\\a+4b&=&35\end{array}}{\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\;4b&=&-20\\b&=&\frac{-20}4\\b&=&\boxed{-5}\end{array}}-$
Substitusi $b=-5$ ke persamaan 1 atau 2 (pilih salah satu saja):
$\begin{array}{rcl}a+4b&=&35\\a+4\left(-5\right)&=&35\\a-20&=&35\\a&=&35+20\\a&=&\boxed{55}\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_{12}&=&a+\left(12-1\right)b\\&=&a+11b\\&=&55+11\left(-5\right)\\&=&55-55\\&=&\boxed0\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: c
Rumus Ninja:
$\bullet$ $b=\frac{U_n-U_m}{n-m}$
$\bullet$ $U_k=U_m+\left(k-m\right)b$
$\bullet$ $b=\frac{U_n-U_m}{n-m}$
$\bullet$ $U_k=U_m+\left(k-m\right)b$
Langkah Ninja:
Menentukan nilai beda $\left(b\right)$ dengan rumus berikut:$\begin{array}{rcl}b&=&\frac{U_n-U_m}{n-m}\\&=&\frac{U_5-U_9}{5-9}\\&=&\frac{35-15}{5-9}\\&=&\frac{20}{-4}\\&=&\boxed{-5}\end{array}$
Menentukan nilai suku ke-n dengan rumus berikut:
$\begin{array}{rcl}U_k&=&U_m+\left(k-m\right)b\\U_{12}&=&U_5+\left(12-5\right)\left(-5\right)\\&=&35+\left(7\right)\left(-5\right)\\&=&35+\left(-35\right)\\&=&35-35\\&=&\boxed0\end{array}$
atau:
$\begin{array}{rcl}U_k&=&U_m+\left(k-m\right)b\\U_{12}&=&U_9+\left(12-9\right)\left(-5\right)\\&=&15+\left(3\right)\left(-5\right)\\&=&15+\left(-15\right)\\&=&15-15\\&=&\boxed0\end{array}$
Tags:
Aljabar