Barisan Dan Deret Aritmetika

📚 Apa yang dipelajari?

Dalam materi ini, kita akan mempelajari: Definisi Logaritma dan Sifat-Sifat Logaritma.

Wise Quote:

"Jangan terlalu bergantung pada siapa pun di dunia ini. Karena bayanganmu saja akan meninggalkanmu di saat gelap." (Ibnu Taymiyyah).

1. Definisi Barisan Dan Deret

1. Barisan
Barisan adalah himpunan bilangan-bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Barisan suku ke-1 sampai suku ke-n dapat dituliskan sebagai berikut:

$U_1,\;U_2,\;U_3,\;...,\;U_{n-1},\;U_n$

2. Deret
Deret adalah penjumlahan dari suatu barisan yang berurutan. Secara umum deret suku ke-1 sampai suku ke-n dapat dituliskan:

$U_1+U_2+U_3+\;...+U_{n-1}+U_n$

3. Hubungan Barisan Dan Deret
Barisan dan deret mempunyai hubungan satu sama lain, yaitu:

$U_n=S_n-S_{\left(n-1\right)}$

2. Barisan Dan Deret Aritmetika

1. Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih/beda antara dua suku yang berurutan selalu sama. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah:

$U_n=a+\left(n-1\right)b$

Keterangan:
$U_n=$ suku ke-n
$a=$ suku pertama
$b=$ beda

2. Deret Aritmetika
Deret aritmetika adalah penjumlahan suatu barisan bilangan yang selisih/beda antara dua suku yang berurutan selalu sama. Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah:

$S_n=\frac n2\left(2a+\left(n-1\right)b\right)$

Keterangan:
$S_n=$ jumlah n suku pertama
$a=$ suku pertama
$b=$ beda

Selain itu, untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika juga bisa menggunakan rumus sebagai berikut:

$S_n=\frac n2\left(a+U_n\right)$

Keterangan:
$S_n=$ jumlah n suku pertama
$a=$ suku pertama
$U_n=$ suku ke-n

3. Suku Tengah Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil selalu memiliki suku tengah yang dinotasikan dengan $U_t$ yang dirumuskan sebagai berikut:

$U_t=\frac{a+U_n}2$

Keterangan:
$U_t=$ suku tengah
$a=$ suku pertama
$U_n=$ suku terakhir

Selain itu, untuk menentukan letak/posisi suku tengah dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

$t=\frac{n+1}2$

Keterangan:
$t=$ letak/posisi suku tengah
$n=$ banyak suku

4. Sisipan Barisan Aritmetika
Jika diantara dua suku barisan aritmetika disisipkan $m$ bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, maka untuk menentukan banyaknya suku setelah disisipkan adalah sebagai berikut:

$n'=n+\left(n-1\right)m$

Keterangan:
$n=$ jumlah suku sebelum sisipan
$n'=$ jumlah suku setelah sisipan
$m=$ banyak sisipan

Selain itu, untuk menentukan beda barisan baru setelah disisipkan dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

$b'=\frac b{m+1}$

Keterangan:
$b=$ beda barisan sebelum sisipan
$b'=$ beda barisan baru setelah sisipan
$m=$ banyak sisipan

Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami barisan dan deret aritmetika. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 1

Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah $110$ dan $150$. Suku ke-30 barisan aritmetika tersebut adalah....

a $308$

b $318$

c $326$

d $344$

e $354$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: b

Penyelesaian:
Jabarkan dua suku yang diketahui menggunakan rumus suku ke-n:
$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_4&=&a+\left(4-1\right)b\\110&=&a+3b\Rightarrow\left(\text{persamaan 1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_9&=&a+\left(9-1\right)b\\150&=&a+8b\Rightarrow\left(\text{persamaan 2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\right)\end{array}$

Eliminasi $a$ pada persamaan 1 dan 2:
$\frac{\begin{array}{rcl}a+8b&=&150\\a+3b&=&110\end{array}}{\begin{array}{rcl}\;\;\;\;5b&=&40\\b&=&\textstyle\frac{40}5\\b&=&\boxed8\end{array}}-$

Substitusi $b=8$ ke persamaan 1 atau 2 (pilih salah satu saja):
$\begin{array}{rcl}a+8b&=&150\\a+8\left(8\right)&=&150\\a+44&=&150\\a&=&150-64\\a&=&\boxed{86}\end{array}$

Sehingga:
$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_{30}&=&a+\left(30-1\right)b\\&=&a+29b\\&=&86+29\left(8\right)\\&=&86+232\\&=&\boxed{318}\end{array}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: a

Rumus Ninja:
$\bullet$ $b=\frac{U_n-U_m}{n-m}$
$\bullet$ $U_k=U_m+\left(k-m\right)b$

Langkah Ninja:

Menentukan nilai beda $\left(b\right)$ dengan rumus berikut:
$\begin{array}{rcl}b&=&\frac{U_n-U_m}{n-m}\\&=&\frac{U_4-U_9}{4-9}\\&=&\frac{110-150}{4-9}\\&=&\frac{-40}{-5}\\&=&\boxed8\end{array}$

Menentukan nilai suku ke-n dengan rumus berikut:
$\begin{array}{rcl}U_k&=&U_m+\left(k-m\right)b\\U_{30}&=&U_4+\left(30-4\right)8\\&=&110+\left(26\right)8\\&=&110+208\\&=&\boxed{318}\end{array}$

atau:

$\begin{array}{rcl}U_k&=&U_m+\left(k-m\right)b\\U_{30}&=&U_9+\left(30-9\right)8\\&=&150+\left(21\right)8\\&=&150+168\\&=&\boxed{318}\end{array}$

💡

Contoh 2

Suku ke-5 dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah $35$ dan $15$. Suku ke-12 barisan aritmetika tersebut adalah....

a $-5$

b $-2$

c $0$

d $2$

e $5$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: c

Penyelesaian:
Jabarkan dua suku yang diketahui menggunakan rumus suku ke-n:
$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_5&=&a+\left(5-1\right)b\\35&=&a+4b\Rightarrow\left(\text{persamaan 1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_9&=&a+\left(9-1\right)b\\15&=&a+8b\Rightarrow\left(\text{persamaan 2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\right)\end{array}$

Eliminasi $a$ pada persamaan 1 dan 2:
$\frac{\begin{array}{rcl}a+8b&=&15\\a+4b&=&35\end{array}}{\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\;4b&=&-20\\b&=&\frac{-20}4\\b&=&\boxed{-5}\end{array}}-$

Substitusi $b=-5$ ke persamaan 1 atau 2 (pilih salah satu saja):
$\begin{array}{rcl}a+4b&=&35\\a+4\left(-5\right)&=&35\\a-20&=&35\\a&=&35+20\\a&=&\boxed{55}\end{array}$

Sehingga:
$\begin{array}{rcl}U_n&=&a+\left(n-1\right)b\\U_{12}&=&a+\left(12-1\right)b\\&=&a+11b\\&=&55+11\left(-5\right)\\&=&55-55\\&=&\boxed0\end{array}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: c

Rumus Ninja:
$\bullet$ $b=\frac{U_n-U_m}{n-m}$
$\bullet$ $U_k=U_m+\left(k-m\right)b$

Langkah Ninja:

Menentukan nilai beda $\left(b\right)$ dengan rumus berikut:
$\begin{array}{rcl}b&=&\frac{U_n-U_m}{n-m}\\&=&\frac{U_5-U_9}{5-9}\\&=&\frac{35-15}{5-9}\\&=&\frac{20}{-4}\\&=&\boxed{-5}\end{array}$

Menentukan nilai suku ke-n dengan rumus berikut:
$\begin{array}{rcl}U_k&=&U_m+\left(k-m\right)b\\U_{12}&=&U_5+\left(12-5\right)\left(-5\right)\\&=&35+\left(7\right)\left(-5\right)\\&=&35+\left(-35\right)\\&=&35-35\\&=&\boxed0\end{array}$

atau:

$\begin{array}{rcl}U_k&=&U_m+\left(k-m\right)b\\U_{12}&=&U_9+\left(12-9\right)\left(-5\right)\\&=&15+\left(3\right)\left(-5\right)\\&=&15+\left(-15\right)\\&=&15-15\\&=&\boxed0\end{array}$

Tags: Aljabar