Logaritma merupakan konsep matematika yang berkaitan erat dengan eksponen atau perpangkatan. Pada materi ini, kamu akan mempelajari pengertian logaritma, hubungan logaritma dengan bentuk eksponen, sifat-sifat logaritma, serta contoh soal dan pembahasannya.
📚 Apa yang dipelajari?
Dalam materi ini, kita akan mempelajari: Definisi Logaritma dan Sifat-Sifat Logaritma.
Wise Quote:
"Jangan terlalu bergantung pada siapa pun di dunia ini. Karena bayanganmu saja akan meninggalkanmu di saat gelap." (Ibnu Taymiyyah).
1. Definisi Logaritma
Logaritma merupakan operasi kebalikan dari perpangkatan. Jika $a>0$, $a\neq1$, dan $c>0$, maka hubungan antara bentuk eksponen dan bentuk logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
$a=$ basis
$c=$ numerus
$b=$ hasil logaritma
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami tentang definisi logaritma. Semoga bermanfaat!
$a^b=c\leftrightarrow{}^a\log c=b$
Pada bentuk logaritma di atas:$a=$ basis
$c=$ numerus
$b=$ hasil logaritma
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami tentang definisi logaritma. Semoga bermanfaat!
Contoh 1
Ubahlah bentuk eksponen berikut menjadi bentuk logaritma!
Pembahasan Lengkap
Catatan:
Bentuk logaritma:
$a^b=c\leftrightarrow{}^a\log c=b$
Penyelesaian:Bentuk logaritma:
$a^b=c\leftrightarrow{}^a\log c=b$
a. $2^3=8$, maka:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}2^3=8&\Rightarrow&{}^2\log8=3\end{array}$
b. $\left(\frac12\right)^2=\frac14$, maka:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}\left(\frac12\right)^2=\frac14&\Rightarrow&{}^\frac12\log\frac14=2\\&&\end{array}$
c. $2^{x+1}=8$, maka:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}2^{x+1}=8&\Rightarrow&{}^2\log8=x+1\\&&\end{array}$
2. Sifat-Sifat Logaritma
Untuk $a>0,\;a\neq1$, serta $x>0,\;y>0$, berlaku sifat-sifat logaritma berikut:
1. ${}^a\log1=0$
2. ${}^a\log a=1$
3. ${}^a\log a^n=n$
4. ${}^a\log xy={}^a\log x+{}^a\log y$
5. ${}^a\log\frac xy={}^a\log x-{}^a\log y$
6. ${}^a\log x^m=m\;{}^a\log x$
7. ${}^a\log x=\frac{{}^p\log x}{{}^p\log a}$
8. ${}^a\log b\cdot{}^b\log c={}^a\log c$
9. ${}^{a^n}\log b^m=\frac mn\;{}^a\log b$
10. $a^{{}^a\log b}=b$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami sifat-sifat logaritma. Semoga bermanfaat!
1. ${}^a\log1=0$
2. ${}^a\log a=1$
3. ${}^a\log a^n=n$
4. ${}^a\log xy={}^a\log x+{}^a\log y$
5. ${}^a\log\frac xy={}^a\log x-{}^a\log y$
6. ${}^a\log x^m=m\;{}^a\log x$
7. ${}^a\log x=\frac{{}^p\log x}{{}^p\log a}$
8. ${}^a\log b\cdot{}^b\log c={}^a\log c$
9. ${}^{a^n}\log b^m=\frac mn\;{}^a\log b$
10. $a^{{}^a\log b}=b$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami sifat-sifat logaritma. Semoga bermanfaat!
Contoh 1
Hasil dari $\frac{{}^3\log\sqrt6}{\left({}^3\log18\right)^2-\left({}^3\log2\right)^2}$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: a
Penyelesaian:
$\begin{array}{rcl}\frac{{}^3\log\sqrt6}{\left({}^3\log18\right)^2-\left({}^3\log2\right)^2}&=&\frac{{}^3\log\sqrt6}{\left({}^3\log18\right)^2-\left({}^3\log2\right)^2}\\&=&\frac{{}^3\log6^{\displaystyle\frac12}}{\left({}^3\log18-{}^3\log2\right)\left({}^3\log18+{}^3\log2\right)}\\&=&\frac{\left({\displaystyle\frac12}\right).{}^3\log6}{\left({}^3\log{\displaystyle\frac{18}2}\right)\left({}^3\log\left(18.2\right)\right)}\\&=&\frac{\left({\displaystyle\frac12}\right).{}^3\log6}{\left({}^3\log{\displaystyle9}\right)\left({}^3\log36\right)}\\&=&\frac{\left({\displaystyle\frac12}\right)}{\left({}^3\log{\displaystyle9}\right)}\times{}^{36}\log6\\&=&\frac{\left({\displaystyle\frac12}\right)}{\left({}^3\log{\displaystyle3^2}\right)}\times{}^{6^2}\log6\\&=&\frac{\left({\displaystyle\frac12}\right)}{\left(2\right).{}^3\log3}\times\left(\frac12\right).{}^6\log6\\&=&\frac{\left({\displaystyle\frac12}\right)}{\left(2\right).1}\times\left(\frac12\right).1\\&=&\frac{\left({\displaystyle\frac12}\right)}2\times\frac12\\&=&\left(\frac12\right)\times\frac12\times\frac12\\&=&\boxed{\frac18}\end{array}$
Contoh 2
Hasil dari $\frac{{}^3\log25.^5\log81-^4\log2}{{}^3\log36-^3\log4}$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: b
Penyelesaian:
$\begin{array}{rcl}\frac{{}^3\log25.^5\log81-^4\log2}{{}^3\log36-^3\log4}&=&\frac{{}^3\log25.^5\log81-^4\log2}{{}^3\log36-^3\log4}\\&=&\frac{{}^3\log5^2.^5\log3^4-^{2^2}\log2}{{}^3\log{\displaystyle\frac{36}4}}\\&=&\frac{\left(2\right).^3\log5.\left(4\right).^5\log3-\left({\displaystyle\frac12}\right).^2\log2}{{}^3\log9}\\&=&\frac{\left(2\right).\left(4\right).^3\log5.^5\log3-{\displaystyle\left(\frac12\right)}.^2\log2}{{}^3\log{\displaystyle3^2}}\\&=&\frac{\left(8\right).^3\log3-{\displaystyle\left(\frac12\right)}.\left(1\right)}{\left(2\right).^3\log{\displaystyle3}}\\&=&\frac{\left(8\right).\left(1\right)-\frac12}{\left(2\right).\left(1\right)}\\&=&\frac{8-\frac12}2\\&=&\frac{{\displaystyle\frac{16}2}-\frac12}2\\&=&\frac{\displaystyle\frac{15}2}2\\&=&\frac{15}2\times\frac12\\&=&\boxed{\frac{15}4}\end{array}$
Contoh 3
Hasil dari $\frac{{}^3\log5.^\sqrt5\log9+^8\log2}{{}^2\log12-^2\log3}$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: d
Penyelesaian:
$\begin{array}{rcl}\frac{{}^3\log5.^\sqrt5\log9+^8\log2}{{}^2\log12-^2\log3}&=&\frac{{}^3\log5.^\sqrt5\log9+^8\log2}{{}^2\log12-^2\log3}\\&=&\frac{{}^3\log5.^{5^{\displaystyle\frac12}}\log3^2+^{2^3}\log2}{{}^2\log{\displaystyle\frac{12}3}}\\&=&\frac{{}^3\log5.\left({\displaystyle\frac2{\left({\displaystyle\frac12}\right)}}\right).^5\log3+\left({\displaystyle\frac13}\right).2\log2}{{}^2\log4}\\&=&\frac{{}^3\log5.\left(4\right)^5\log3+{\displaystyle\left(\frac13\right)}.\left(1\right)}{{}^2\log{\displaystyle2^2}}\\&=&\frac{\left(4\right).^3\log5.^5\log3+{\displaystyle\left(\frac13\right)}.\left(1\right)}{\left(2\right).^2\log{\displaystyle2}}\\&=&\frac{\left(4\right).^3\log3+\frac13}{\left(2\right).\left(1\right)}\\&=&\frac{\left(4\right).\left(1\right)+\frac13}2\\&=&\frac{4+\frac13}2\\&=&\frac{\displaystyle\frac{\displaystyle12}{\displaystyle3}+\frac13}2\\&=&\frac{\frac{13}3}2\\&=&\frac{13}3\times\frac12\\&=&\boxed{\frac{13}6}\end{array}$
Tags:
Aljabar