Logaritma

📚 Apa yang dipelajari?

Dalam materi ini, kita akan mempelajari: Definisi Logaritma dan Sifat-Sifat Logaritma.

Wise Quote:

"Jangan terlalu bergantung pada siapa pun di dunia ini. Karena bayanganmu saja akan meninggalkanmu di saat gelap." (Ibnu Taymiyyah).

1. Definisi Logaritma

Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan. Secara umum, logaritma didefinisikan sebagai berikut. Jika $a,\;b,\;c\in\mathbb{R},\;a>0,\;a\neq1$, dan $c>0$, maka definisi dari logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut: :

$a^b=c\leftrightarrow{}^a\log b=c$

Pada bentuk logaritma di atas, terdapat beberapa unsur yaitu:
$a=$ basis
$c=$ numerus
$b=$ hasil logaritma

Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami tentang definisi logaritma. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 1

Ubahlah bentuk eksponen berikut menjadi bentuk logaritma!

a $2^3=8$

b $\left(\frac12\right)^2=\frac14$

c $2^{x+1}=8$

✓

Pembahasan Lengkap

Catatan:
Bentuk logaritma:
$a^b=c\leftrightarrow{}^a\log b=c$

Penyelesaian:
a. $2^3=8$, maka:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}2^3=8&\Rightarrow&{}^2\log8=3\\&&\end{array}$
b. $\left(\frac12\right)^2=\frac14$, maka:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}\left(\frac12\right)^2=\frac14&\Rightarrow&{}^\frac12\log\frac14=2\\&&\end{array}$
c. $2^{x+1}=8$, maka:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}2^{x+1}=8&\Rightarrow&{}^2\log\left(x+1\right)=8\\&&\end{array}$

2. Sifat-Sifat Logaritma

Pada bentuk logaritma berlaku sifat-sifat berikut:
1. ${}^a\log xy=^a\log x+^a\log y$
2. ${}^a\log\frac xy=^a\log x-^a\log y$
3. ${}^a\log x^m=m\;^a\log x$
4. ${}^a\log x=\frac{{}^p\log x}{{}^p\log a}$
5. ${}^a\log b.{}^b\log c={}^a\log c$
6. ${}^{a^n}\log b{}^m=\frac mn\;{}^a\log b$
7. $a^{{}^a\log b}=b$

Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami sifat-sifat logaritma. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 2

Hasil dari $\frac{{}^3\log25.^5\log81-^4\log2}{{}^3\log36-^3\log4}$ adalah....

a $\frac{11}4$

b $\frac{15}4$

c $\frac{17}4$

d $11$

e $15$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: b

Penyelesaian:

$\begin{array}{rcl}\frac{{}^3\log25.^5\log81-^4\log2}{{}^3\log36-^3\log4}&=&\frac{{}^3\log25.^5\log81-^4\log2}{{}^3\log36-^3\log4}\\&=&\frac{{}^3\log5^2.^5\log3^4-^{2^2}\log2}{{}^3\log{\displaystyle\frac{36}4}}\\&=&\frac{\left(2\right).^3\log5.\left(4\right).^5\log3-\left({\displaystyle\frac12}\right).^2\log2}{{}^3\log9}\\&=&\frac{\left(2\right).\left(4\right).^3\log5.^5\log3-{\displaystyle\left(\frac12\right)}.^2\log2}{{}^3\log{\displaystyle3^2}}\\&=&\frac{\left(8\right).^3\log3-{\displaystyle\left(\frac12\right)}.\left(1\right)}{\left(2\right).^3\log{\displaystyle3}}\\&=&\frac{\left(8\right).\left(1\right)-\frac12}{\left(2\right).\left(1\right)}\\&=&\frac{8-\frac12}2\\&=&\frac{{\displaystyle\frac{16}2}-\frac12}2\\&=&\frac{\displaystyle\frac{15}2}2\\&=&\frac{15}2\times\frac12\\&=&\boxed{\frac{15}4}\end{array}$

💡

Contoh 3

Hasil dari $\frac{{}^3\log5.^\sqrt5\log9+^8\log2}{{}^2\log12-^2\log3}$ adalah....

a $\frac46$

b $\frac76$

c $\frac53$

d $\frac{13}6$

e $\frac{26}6$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: d

Penyelesaian:

$\begin{array}{rcl}\frac{{}^3\log5.^\sqrt5\log9+^8\log2}{{}^2\log12-^2\log3}&=&\frac{{}^3\log5.^\sqrt5\log9+^8\log2}{{}^2\log12-^2\log3}\\&=&\frac{{}^3\log5.^{5^{\displaystyle\frac12}}\log3^2+^{2^3}\log2}{{}^2\log{\displaystyle\frac{12}3}}\\&=&\frac{{}^3\log5.\left({\displaystyle\frac2{\left({\displaystyle\frac12}\right)}}\right).^5\log3+\left({\displaystyle\frac13}\right).2\log2}{{}^2\log4}\\&=&\frac{{}^3\log5.\left(4\right)^5\log3+{\displaystyle\left(\frac13\right)}.\left(1\right)}{{}^2\log{\displaystyle2^2}}\\&=&\frac{\left(4\right).^3\log5.^5\log3+{\displaystyle\left(\frac13\right)}.\left(1\right)}{\left(2\right).^2\log{\displaystyle2}}\\&=&\frac{\left(4\right).^3\log3+\frac13}{\left(2\right).\left(1\right)}\\&=&\frac{\left(4\right).\left(1\right)+\frac13}2\\&=&\frac{4+\frac13}2\\&=&\frac{\displaystyle\frac{\displaystyle12}{\displaystyle3}+\frac13}2\\&=&\frac{\frac{13}3}2\\&=&\frac{13}3\times\frac12\\&=&\boxed{\frac{13}6}\end{array}$