Eksponen atau bilangan berpangkat merupakan konsep penting dalam matematika yang digunakan untuk menyederhanakan perkalian berulang. Pada materi ini, kamu akan mempelajari pengertian eksponen, sifat-sifat eksponen, bentuk akar, serta contoh soal dan pembahasannya.
📚 Apa yang dipelajari?
Dalam materi ini, kita akan mempelajari: Definisi Eksponen, Sifat Bentuk Eksponen, dan Sifat Bentuk Akar.
Wise Quote:
"Allah akan mengangkat derajat orang-orang yang beriman dan orang-orang yang berilmu di antara kamu sekalian." (Q.S Al-Mujadilah: 11).
1. Definisi Eksponen
Eksponen atau bilangan berpangkat dinotasikan dengan $a^m$ (dibaca a pangkat m), dengan $a,\;m\in\mathbb{R},\;a>0$, dan $a\neq1$. Pada notasi eksponen, $a$ disebut basis atau bilangan pokok, sedangkan $m$ disebut pangkat atau eksponen. Jika $m$ adalah bilangan bulat positif, maka definisi dari eksponen dapat dinyatakan sebagai berikut:
:
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami tentang definisi eksponen. Semoga bermanfaat!
$a^m=\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}_\text{Sebanyak m faktor}$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami tentang definisi eksponen. Semoga bermanfaat!
Contoh 1
Tentukan nilai dari masing-masing bentuk eksponen berikut ini!
Pembahasan Lengkap
Jawaban:
Catatan:
Bentuk eksponen:
$a^m=\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}_\text{Sebanyak m faktor}$
Penyelesaian:Bentuk eksponen:
$a^m=\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}_\text{Sebanyak m faktor}$
a. $2^5$, maka:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}2^5&=&2\times2\times2\times2\times2\\&=&\boxed{32}\end{array}$
b. $\left(-3\right)^4$, maka:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}\left(-3\right)^4&=&\left(-3\right)\times\left(-3\right)\times\left(-3\right)\times\left(-3\right)\\&=&\boxed{81}\end{array}$
c. $-3^4$, maka:$\;\;\;\begin{array}{rcl}-3^4&=&\left(-1\right)\times3^4\\&=&\left(-1\right)\times3\times3\times3\times3\\&=&\left(-1\right)\times81\\&=&\boxed{-81}\end{array}$
2. Sifat Bentuk Eksponen
Jika $a$ dan $b$ bilangan real, serta $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, maka berlaku sifat-sifat berikut:
1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$
2. $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $a\neq0$ dan $m>n$
3. $\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$
4. $\left(ab\right)^m=a^mb^m$
5. $\left(\frac ab\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$, $b\neq0$
6. $a^0=1$, $a\neq0$
7. $a^{-m}=\frac1{a^m}$, $a\neq0$
8. $a^\frac mn=\sqrt[n]{a^m}$, $n\geq2$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami sifat bentuk eksponen. Semoga bermanfaat!
1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$
2. $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $a\neq0$ dan $m>n$
3. $\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$
4. $\left(ab\right)^m=a^mb^m$
5. $\left(\frac ab\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$, $b\neq0$
6. $a^0=1$, $a\neq0$
7. $a^{-m}=\frac1{a^m}$, $a\neq0$
8. $a^\frac mn=\sqrt[n]{a^m}$, $n\geq2$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami sifat bentuk eksponen. Semoga bermanfaat!
Contoh 1
Bentuk sederhana dari $\left(\frac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^5b^{-3}c}\right)^{-1}$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: a
Penyelesaian:
$\begin{array}{lcl}\left(\frac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^5b^{-3}c}\right)^{-1}&=&\left(\frac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^5b^{-3}c}\right)^{-1}\\&=&\left(\frac{\cancel{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}3}^1}{\cancel{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}24}^8}\times\left(\frac{{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}^{-2}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}b}c^{-3}}{{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}^5{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}b}^{-3}c}\right)\right)^{-1}\\&=&\left(\frac18\times\left(a^{-2-5}b^{1-\left(-3\right)}c^{-3-1}\right)\right)^{-1}\\&=&\left(\frac18\times\left(a^{-7}b^{1+3}c^{-4}\right)\right)^{-1}\\&=&\left(\frac18\times\left(a^{-7}b^4c^{-4}\right)\right)^{-1}\\&=&\left(\frac{a^{-7}b^4c^{-4}}8\right)^{-1}\\&=&\left(\frac{a^{-7}b^4c^{-4}}8\right)^{-1}\\&=&\frac1{\left(\frac{a^{-7}b^4c^{-4}}8\right)}\\&=&1\times\left(\frac8{a^{-7}b^4c^{-4}}\right)\\&=&\frac8{a^{-7}b^4c^{-4}}\\&=&\boxed{\frac{8a^7c^4}{b^4}}\end{array}$
3. Sifat Bentuk Akar
Akar dari suatu bilangan dinotasikan dengan $\sqrt[n]a$ (dibaca akar pangkat n dari a), dengan $n$ bilangan positif, $n\geq2$, dan $a\geq0$. Pada notasi akar, $a$ disebut radikan, sedangkan $n$ disebut pangkat akar. Jika $a,\;b,\;c$ dan $q$ bilangan rasional positif, $a,\;b\geq0$, serta $n\geq2$, maka berlaku sifat-sifat berikut:
1. $\sqrt[n]a\times\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab}$
2. $\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\frac ab}$
3. $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$
4. $p\sqrt[n]a\pm q\sqrt[n]a=\left(p\pm q\right)\sqrt[n]a$
5. $\left(\sqrt a+\sqrt b\right)\left(\sqrt a-\sqrt b\right)=a-b$
6. $\sqrt{\left(a+b\right)\pm2\sqrt{ab}}=\sqrt a\pm\sqrt b$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang sifat bentuk akar. Semoga bermanfaat!
1. $\sqrt[n]a\times\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab}$
2. $\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\frac ab}$
3. $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$
4. $p\sqrt[n]a\pm q\sqrt[n]a=\left(p\pm q\right)\sqrt[n]a$
5. $\left(\sqrt a+\sqrt b\right)\left(\sqrt a-\sqrt b\right)=a-b$
6. $\sqrt{\left(a+b\right)\pm2\sqrt{ab}}=\sqrt a\pm\sqrt b$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang sifat bentuk akar. Semoga bermanfaat!
Contoh 1
Bentuk sederhana dari $\frac{12}{\sqrt6+\sqrt2}$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: d
Penyelesaian:$\begin{array}{rcl}\frac{12}{\sqrt6+\sqrt2}&=&\frac{12}{\sqrt6+\sqrt2}\\&=&\frac{12}{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt6}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}+}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt2}}\times\frac{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt6}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}-}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt2}}{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt6}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}-}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt2}}\\&=&\frac{12\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}{6-2}\\&=&\frac{\cancel{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}12}^3\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}{\cancel{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}4}^1}\\&=&\boxed{3\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}\end{array}$
Contoh 2
Bentuk sederhana dari $\frac{\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\left(\sqrt5-\sqrt3\right)}{\sqrt3+2}$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: a
Penyelesaian:
$\begin{array}{rcl}\frac{\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\left(\sqrt5-\sqrt3\right)}{\sqrt3+2}&=&\frac{\left({\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt5}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}+}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt3}\right)\left({\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt5}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}-}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt3}\right)}{\sqrt3+2}\\&=&\frac{5-3}{\sqrt3+2}\\&=&\frac2{\sqrt3+2}\\&=&\frac2{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt3}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}+}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}2}}\times\frac{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}-}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}2}}{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\sqrt3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}-}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}2}}\\&=&\frac{2\left(\sqrt3-2\right)}{3-2^{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}2}}\\&=&\frac{2\left(\sqrt3-2\right)}{3-4}\\&=&\frac{2\left(\sqrt3-2\right)}{-1}\\&=&-2\left(\sqrt3-2\right)\\&=&-2\sqrt3+4\\&=&\boxed{4-2\sqrt3}\end{array}$
Tags:
Aljabar