Eksponen

📚 Apa yang dipelajari?

Dalam materi ini, kita akan mempelajari: Definisi Eksponen, Sifat Bentuk Eksponen, dan Sifat Bentuk Akar.

Wise Quote:

"Allah akan mengangkat derajat orang-orang yang beriman dan orang-orang yang berilmu di antara kamu sekalian." (Q.S Al-Mujadilah: 11).

1. Definisi Eksponen

Eksponen atau bilangan berpangkat dinotasikan dengan $a^m$ (dibaca a pangkat m), dengan $a,\;m\in\mathbb{R},\;a>0$, dan $a\neq1$. Pada notasi eksponen, $a$ disebut basis atau bilangan pokok, sedangkan $m$ disebut pangkat atau eksponen. Jika $m$ adalah bilangan bulat positif, maka definisi dari eksponen dapat dinyatakan sebagai berikut: :

$a^m=\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}_\text{Sebanyak m faktor}$

Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami tentang definisi eksponen. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 1

Tentukan nilai dari masing-masing bentuk eksponen berikut ini!

a $2^5$

b $\left(-3\right)^4$

c $-3^4$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban:

Catatan:
Bentuk eksponen:
$a^m=\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}_\text{Sebanyak m faktor}$

Penyelesaian:
a. $2^5$, maka:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}2^5&=&2\times2\times2\times2\times2\\&=&\boxed{32}\end{array}$

b. $\left(-3\right)^4$, maka:

$\;\;\;\begin{array}{rcl}\left(-3\right)^4&=&\left(-3\right)\times\left(-3\right)\times\left(-3\right)\times\left(-3\right)\\&=&\boxed{81}\end{array}$

c. $-3^4$, maka:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}-3^4&=&\left(-1\right)\times3^4\\&=&\left(-1\right)\times3\times3\times3\times3\\&=&\left(-1\right)\times81\\&=&\boxed{-81}\end{array}$

2. Sifat Bentuk Eksponen

Jika $a$ dan $b$ bilangan real, serta $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, maka berlaku sifat-sifat berikut:
1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$
2. $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $a\neq0$ dan $m>n$
3. $\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$
4. $\left(ab\right)^m=a^mb^m$
5. $\left(\frac ab\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$, $b\neq0$
6. $a^0=1$, $a\neq0$
7. $a^{-m}=\frac1{a^m}$, $a\neq0$
8. $a^\frac mn=\sqrt[n]{a^m}$, $n\geq2$

Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami sifat bentuk eksponen. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 2

Bentuk sederhana dari $\left(\frac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^5b^{-3}c}\right)^{-1}$ adalah....

a $\frac{8a^7c^4}{b^4}$

b $\frac{8a^10c^3}{b^4}$

c $\frac{8a^7c^3}{b^3}$

d $\frac{8a^10b^3}{c^3}$

e $\frac{8a^10c^4}{b^3}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: a

Penyelesaian:

$\begin{array}{rcl}\left(\frac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^5b^{-3}c}\right)^{-1}&=&\left(\frac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^5b^{-3}c}\right)^{-1}\\&=&\left(\frac3{24}\times\left(\frac{a^{-2}bc^{-3}}{a^5b^{-3}c}\right)\right)^{-1}\\&=&\left(\frac18\times\left(a^{-2-5}b^{1-\left(-3\right)}c^{-3-1}\right)\right)^{-1}\\&=&\left(\frac18\times\left(a^{-7}b^{1+3}c^{-4}\right)\right)^{-1}\\&=&\left(\frac18\times\left(a^{-7}b^4c^{-4}\right)\right)^{-1}\\&=&\left(\frac{a^{-7}b^4c^{-4}}8\right)^{-1}\\&=&\left(\frac{a^{-7}b^4c^{-4}}8\right)^{-1}\\&=&\frac1{\left(\frac{a^{-7}b^4c^{-4}}8\right)}\\&=&1\times\left(\frac8{a^{-7}b^4c^{-4}}\right)\\&=&\frac8{a^{-7}b^4c^{-4}}\\&=&\boxed{\frac{8a^7c^4}{b^4}}\end{array}$

3. Sifat Bentuk Akar

Akar dari suatu bilangan dinotasikan dengan $\sqrt[n]a$ (dibaca akar pangkat n dari a), dengan $n$ bilangan positif, $n\geq2$, dan $a\geq0$. Pada notasi akar, $a$ disebut radikan, sedangkan $n$ disebut pangkat akar. Jika $a,\;b,\;c$ dan $q$ bilangan rasional positif, $a,\;b\geq0$, serta $n\geq2$, maka berlaku sifat-sifat berikut:
1. $\sqrt[n]a\times\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab}$
2. $\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\frac ab}$
3. $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$
4. $p\sqrt[n]a\pm q\sqrt[n]a=\left(p\pm q\right)\sqrt[n]a$
5. $\left(\sqrt a+\sqrt b\right)\left(\sqrt a-\sqrt b\right)=a-b$
6. $\sqrt{\left(a+b\right)\pm2\sqrt{ab}}=\sqrt a\pm\sqrt b$

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang sifat bentuk akar. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 3

Bentuk sederhana dari $\frac{12}{\sqrt6+\sqrt2}$ adalah....

a $4\left(\sqrt6+\sqrt2\right)$

b $4\left(\sqrt6-\sqrt2\right)$

c $3\left(\sqrt6+\sqrt2\right)$

d $3\left(\sqrt6-\sqrt2\right)$

e $2\left(\sqrt6+\sqrt2\right)$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: d

Penyelesaian:
$\begin{array}{rcl}\frac{12}{\sqrt6+\sqrt2}&=&\frac{12}{\sqrt6+\sqrt2}\\&=&\frac{12}{\sqrt6+\sqrt2}\times\frac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}\\&=&\frac{12\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}{6-2}\\&=&\frac{12\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}4\\&=&\boxed{3\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}\end{array}$