Transformasi Geometri

📚 Tentang Materi Ini

Transformasi Geometri adalah materi matematika yang mempelajari perubahan posisi, bentuk, dan ukuran suatu objek geometri melalui operasi tertentu. Dalam materi ini, kita akan mempelajari 5 jenis transformasi utama: Transformasi Matriks, Translasi, Refleksi, Dilatasi, dan Rotasi.

Wise Quote:

"Pendidikan adalah senjata paling mematikan di dunia, karena dengan pendidikan, Anda dapat mengubah dunia." (Nelson Mandela).

1. Transformasi oleh Matriks

Transformasi oleh matriks adalah proses mengubah setiap titik pada bidang menggunakan aturan perkalian matriks. Jika suatu titik $A(x,\;y)$ ditransformasikan oleh matriks $M=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ maka akan menghasilkan bayangan $A'\left(ax+by,\;cx+dy\right)$. Alur transformasi titik tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

$\boxed{A\left(x,\;y\right)\xrightarrow{M=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}A'\left(\underbrace{ax+by}_{x'},\;\underbrace{cx+dy}_{y'}\right)}$

Bentuk di atas juga dapat dinyatakan dalam matriks, yaitu:
$\begin{array}{rcl}A'&=&MA\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}\end{array}$
Sehingga diperoleh:
$\boxed{x'=ax+by}\;\text{dan}\;\boxed{y'=cx+dy}$

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang transformasi oleh suatu matriks tertentu. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 1

Suatu titik $A\left(6,\;-3\right)$ ditransformasikan oleh matriks $M=\begin{bmatrix}2&1\\1&-3\end{bmatrix}$ ke $A'\left(x',\;y'\right)$. Maka koordinat $A'$ adalah . . . .

a $\left(9,\;15\right)$

b $\left(15,\;-3\right)$

c $\left(-3,\;15\right)$

d $\left(6,\;9\right)$

e $\left(15,\;9\right)$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: A

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;\left(x,\;y\right)=\left(6,\;-3\right)$
$\odot\;\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\1&-3\end{bmatrix}$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}A'&=&MA\\&=&\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&1\\1&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6\\-3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}\left(2\times6\right)+\left(1\times(-3)\right)\\\left(1\times6\right)+\left(\left(-3\right)\times\left(-3\right)\right)\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}12+(-3)\\6+9\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}12-3\\15\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}9\\15\end{bmatrix}\end{array}\\$

Kesimpulan: Koordinat titik $A'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{A'\left(9,\;15\right)}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: A

Rumus Ninja:
Bayangan titik $A\left(x,\;y\right)$ oleh transformasi matriks $M=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ adalah:
$\boxed{A'\left(x',\;y'\right)=\left(ax+by,\;cx+dy\right)}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;\left(x,\;y\right)=\left(6,\;-3\right)$
$\odot\;\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\1&-3\end{bmatrix}$

Dengan jalan Ninja, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}x'&=&ax+by\\&=&2\left(6\right)+1\left(-3\right)\\&=&12+\left(-3\right)\\&=&12-3\\&=&9\end{array}$

$\begin{array}{rcl}y'&=&cx+dy\\&=&1\left(6\right)+\left(-3\right)\left(-3\right)\\&=&6+9\\&=&15\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $A'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{A'\left(9,\;15\right)}$

💡

Contoh 2

Titik $P\left(x,\;y\right)$ ditransformasikan oleh matriks $M=\begin{bmatrix}4&3\\1&2\end{bmatrix}$ dan menghasilkan bayangan $P'\left(2,\;-1\right)$. Maka koordinat $P$ adalah . . . .

a $\left(5,\;-6\right)$

b $\left(-1,\;2\right)$

c $\left(-4,\;5\right)$

d $\left(2,\;-3\right)$

e $\left(6,\;-7\right)$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: A

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;\left(x',\;y'\right)=\left(2,\;-1\right)$
$\odot\;\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&3\\2&1\end{bmatrix}$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}P'&=&MP\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}4&3\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}4x+3y\\x+2y\end{bmatrix}\end{array}\\$

Berdasarkan matriks di atas, diperoleh:
$\begin{array}{lcl}4x+3y&=&2\rightarrow\text{Persamaan (1)}\\x+2y&=&-1\rightarrow\text{Persamaan (2)}\end{array}$

Gunakan metode eliminasi untuk menentukan nilai $y$
$\frac{\begin{array}{rcl}4x+3y&=&2\\x+y&=&-1\end{array}\left|\times\begin{array}{c}1\\4\end{array}\left|\begin{array}{rcl}4x+3y&=&2\\4x+4y&=&-4\end{array}\right.\right.}{\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-y&=&2-\left(-4\right)\\-y&=&2+4\\-y&=&6\\y&=&\textstyle\frac6{-1}\\y&=&\boxed{-6}\end{array}}-$

Substitusi nilai $y=\boxed{-6}$ ke persamaan 2 untuk menentukan nilai $x$
$\begin{array}{rcl}x+y&=&-1\\x+\left(-6\right)&=&-1\\x-6&=&-1\\x&=&-1+6\\x&=&\boxed5\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $P\left(x,\;y\right)$ adalah $\boxed{P\left(5,\;-6\right)}$

💡

Contoh 3

Bayangan garis $2x+3y=1$ oleh transformasi matrik $M=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}$ adalah . . . .

a $3x-4y=1$

b $4x+3y=1$

c $2x+5y=1$

d $x+3y=1$

e $3x+4y=1$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: A

Catatan: Jika transformasi dilakukan terhadap garis atau kurva, maka gunakan sembarang titik misal $T\left(x,\;y\right)$ untuk mewakili garis atau kurva tersebut

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;2x+3y=1\Rightarrow\left(x,\;y\right)$
$\odot\;\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}T'&=&MT\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2x+5y\\x+3y\end{bmatrix}\end{array}\\$

Berdasarkan matriks di atas, diperoleh:
$\begin{array}{lcl}2x+5y&=&x'\rightarrow\text{Persamaan (1)}\\x+3y&=&y'\rightarrow\text{Persamaan (2)}\end{array}$

Gunakan metode eliminasi untuk menentukan nilai $x$

$\frac{\begin{array}{rcl}2x+5y&=&x'\\x+3y&=&y'\end{array}\left|\times\begin{array}{c}3\\5\end{array}\left|\begin{array}{rcl}6x+15y&=&3x'\\5x+15y&=&5y'\end{array}\right.\right.}{\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x&=&\boxed{3x'-5y'}\end{array}}-$

Substitusi nilai $x=\boxed{3x'-5y'}$ ke persamaan 2 untuk menentukan nilai $y$
$\begin{array}{rcl}x+3y&=&y'\\3x'-5y'+3y&=&y'\\3y&=&y'+5y'-3x'\\3y&=&6y'-3x'\\y&=&\frac{6y'-3x'}3\\y&=&\boxed{2y'-x'}\end{array}$

Substitusi nilai $x=\boxed{3x'-5y'}$ dan $y=\boxed{2y'-x'}$ ke persamaan awal garis untuk menentukan persamaan bayangannya
$\begin{array}{rcl}2x+3y&=&1\\\begin{array}{rc}2\left(3x'-5y'\right)&+3\left(2y'-x'\right)\end{array}&=&1\\6x'-10y'+6y'-3x'&=&1\\3x'-4y'&=&1\end{array}$

*Tanda aksen $(')$ pada persamaan garis/kurva mewakili bayangan

Kesimpulan: Bayangan garis adalah $\boxed{3x-4y=1}$

2. Translasi

Translasi adalah proses menggeser suatu bangun dengan arah dan jarak yang sama untuk setiap titiknya. Bayangan yang dihasilkan memiliki bentuk, ukuran, dan arah yang sama persis dengan bangun semula, hanya posisinya saja yang berubah. Jika suatu titik $A(x,\;y)$ mengalami translasi sebesar $T=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ maka akan menghasilkan bayangan $A'(a+x,\;b+y)$. Alur translasi titik tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
$\boxed{A\left(x,\;y\right)\xrightarrow{T=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}A'\left(\underbrace{a+x}_{x'},\;\underbrace{b+y}_{y'}\right)}$

Bentuk di atas juga dapat dinyatakan dalam matriks, yaitu:
$\begin{array}{rcl}A'&=&T+A\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}a+x\\b+y\end{bmatrix}\end{array}$
Sehingga diperoleh:
$\boxed{x'=a+x}\;\text{dan}\;\boxed{y'=b+y}$

Catatan:
$\bullet$ Konstanta $a$ adalah pergeseran horizontal. Jika $a>0\;\text{(positif)}$ maka $A$ bergeser ke kanan sejauh $\left|a\right|$ satuan, dan jika $a<0\;\text{(negatif)}$ maka $A$ bergeser ke kiri sejauh $\left|a\right|$ satuan.
$\bullet$ Konstanta $b$ adalah pergeseran vertikal. Jika $b>0\;\text{(positif)}$ maka $A$ bergeser ke atas sejauh $\left|a\right|$ satuan, dan jika $b<0\;\text{(negatif)}$ maka $A$ bergeser ke bawah sejauh $\left|a\right|$ satuan.

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang translasi. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 4

Bayangan titik $A\left(5,\;7\right)$ oleh translasi $T=\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}$ adalah . . . .

a $\left(1,\;8\right)$

b $\left(9,\;6\right)$

c $\left(9,\;8\right)$

d $\left(1,\;6\right)$

e $\left(5,\;6\right)$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: B

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;\left(x,\;y\right)=\left(5,\;7\right)$
$\odot\;\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}A'&=&T+A\\&=&\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\\7\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}4+5\\-1+7\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}9\\6\end{bmatrix}\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $A'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{A'\left(9,\;6\right)}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: B

Rumus Ninja:
Bayangan titik $A\left(x,\;y\right)$ oleh translasi $T=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ adalah:
$\boxed{A'\left(x',\;y'\right)=\left(a+x,\;b+y\right)}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;\left(x,\;y\right)=\left(5,\;7\right)$
$\odot\;\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}$

Dengan jalan Ninjaku, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}A'\left(x',\;y'\right)&=&\left(a+x,\;b+y\right)\\&=&\left(4+5,\;-1+7\right)\\&=&\left(9,\;6\right)\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $A'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{A'\left(9,\;6\right)}$

💡

Contoh 5

Bayangan titik $B\left(x,\;y\right)$ oleh translasi $T=\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}$ adalah $B'\left(2,\;4\right)$. Maka koordinat titik $B$ adalah . . . .

a $\left(5,\;-1\right)$

b $\left(1,\;2\right)$

c $\left(-1,\;-1\right)$

d $\left(-5,\;9\right)$

e $\left(6,\;-6\right)$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: A

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;\left(x',\;y'\right)=\left(2,\;4\right)$
$\odot\;\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}B'&=&T+B\\B&=&B'-T\\&=&\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2-\left(-3\right)\\4-5\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2+3\\-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}5\\-1\end{bmatrix}\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $A\left(x,\;y\right)$ adalah $\boxed{A\left(5,\;-1\right)}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: A

Rumus Ninja:
Koordinat titik $A\left(x,\;y\right)$ jika diketahui translasi $T=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ dan bayangan $A'\left(x',\;y'\right)$ adalah:
$\boxed{A\left(x,\;y\right)=\left(x'-a,\;y'-b\right)}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;\left(x',\;y'\right)=\left(2,\;4\right)$
$\odot\;\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}$

Dengan jalan Ninja, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}A\left(x,\;y\right)&=&\left(x'-a,\;y'-b\right)\\&=&\left(2-\left(-3\right),\;4-5\right)\\&=&\left(2+3,\;-1\right)\\&=&\left(5,\;-1\right)\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $A\left(x,\;y\right)$ adalah $\boxed{A'\left(5,\;-1\right)}$

💡

Contoh 6

Bayangan garis $3x-4y=12$ leh translasi $T=\begin{bmatrix}3\\-4\end{bmatrix}$ adalah . . . .

a $3x-4y=25$

b $3x-4y=37$

c $3x-4y=-3$

d $3x-4y=1$

e $3x-4y=49$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: B

Note: Jika diketahui garis atau kurva, maka garis atau kurva tersebut diwakilkan dengan titik $(x,y)$ dalam perhitungan.

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;3x-4y=12\Rightarrow\left(x,\;y\right)$
$\odot\;\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\-4\end{bmatrix}$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}G'&=&T+G\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3\\-4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3+x\\-4+y\end{bmatrix}\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}x'=3+x&\&&y'=-4+y\\\boxed{x'-3}=x&\&&\boxed{y'+4}=y\end{array}$

Substitusi $x=\boxed{x'-3}$ dan $y=\boxed{y'+4}$ ke persamaan awal garis untuk menentukan bayangannya
$\begin{array}{rcl}3x-4y&=&12\\3\left(x'-3\right)-4\left(y'+4\right)&=&12\\3x'-9-4y'-16&=&12\\3x'-4y'-25&=&12\\3x'-4y'&=&12+25\\3x'-4y'&=&37\end{array}$

*Tanda aksen $(')$ pada persamaan garis/kurva mewakili bayangan

Kesimpulan: Bayangan garis adalah $\boxed{3x-4y=37}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: B

Rumus Ninja:
Bayangan garis $px+qy=r$ oleh translasi $T=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ adalah:
$\boxed{p\left(x-a\right)+q\left(y-b\right)=r}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;3x-4y=12$
$\odot\;\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\-4\end{bmatrix}$

Dengan jalan Ninja, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}3x-4y&=&12\\3\left(x-3\right)-4\left(y+4\right)&=&12\\3x-9-4y-16&=&12\\3x-4y-25&=&12\\3x-4y&=&12+25\\3x-4y&=&37\end{array}$

Kesimpulan: Bayangan garis adalah $\boxed{3x-4y=37}$

3. Refleksi

Refleksi adalah proses mencerminkan suatu bangun terhadap sebuah garis (sumbu refleksi). Bayangan yang dihasilkan memiliki bentuk dan ukuran yang sama, tetapi posisinya terbalik seperti bayangan di cermin. Sumbu refleksi pada proses refleksi bisa bermacam-macam, dan semuanya bisa dinyatakan dalam bentuk matriks. Perhatikan tabel berikut:

$\begin{array}{:c|c|c|c|c:}\hdashline\text{No}&\text{Sumbu refleksi}&\text{Matriks}&\text{Persamaan transformasi}&\text{Koordinat bayangan}\\\hline1&\text{Sumbu}\;X&\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}&\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}&\left(x',\;y'\right)=\left(x,\;-y\right)\\\hline2&\text{Sumbu }Y&\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}&\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}&\left(x',\;y'\right)=\left(-x,\;y\right)\\\hline3&\text{Titik pusat}&\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}&\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}&\left(x',\;y'\right)=\left(-x,\;-y\right)\\\hline4&\text{Garis }y=x&\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}&\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}&\left(x',\;y'\right)=\left(y,\;x\right)\\\hline5&\text{Garis }y=-x&\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}&\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}&\left(x',\;y'\right)=\left(-y,\;-x\right)\\\hline6&\text{Garis}\;y=x+k&\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}&\begin{bmatrix}x'\\y'-k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}&\left(x',\;y'\right)=\left(y-k,\;x+k\right)\\\hline7&\text{Garis }y=-x+k&\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}&\begin{bmatrix}x'\\y'-k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}&\left(x',\;y'\right)=\left(k-y,\;k-x\right)\\\hline8&\text{Garis }y=\left(\tan\;\alpha\right)x+k&\begin{bmatrix}\cos\;2\alpha&\sin\;2\alpha\\\sin\;2\alpha&-\cos\;2\alpha\end{bmatrix}&\begin{bmatrix}x'\\y'-k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\;2\alpha&\sin\;2\alpha\\\sin\;2\alpha&-\cos\;2\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}&\left(x',\;y'\right)=\left(x\cos\;2\alpha+\left(y-k\right)\sin\;2\alpha,\;x\sin\;2\alpha-\left(y-k\right)\cos\;2\alpha+k\right)\\\hline9&\text{Garis }x=h&-&\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2h\\0\end{bmatrix}&\left(x',\;y'\right)=\left(2h-x,\;y\right)\\\hline10&\text{Garis }y=k&-&\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\2k\end{bmatrix}&\left(x',\;y'\right)=\left(x,\;2k-y\right)\\\hdashline\end{array}$

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang refleksi. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 7

Bayangan titik $A\left(2,\;-3\right)$ jika direfleksikan terhadap sumbu $x$ adalah . . . .

a $\left(-2,\;-3\right)$

b $\left(-2,\;3\right)$

c $\left(2,\;3\right)$

d $\left(3,\;-2\right)$

e $\left(-3,\;2\right)$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: C

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;A\left(x,\;y\right)=\left(2,\;-3\right)$
$\odot\;R_x=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}A'&=&R_xA\\&=&\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1\left(2\right)+0\left(-3\right)\\0\left(2\right)+\left(-1\right)\left(-3\right)\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2+0\\0+3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $A'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{A'\left(2,\;3\right)}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: A

Rumus Ninja:
Bayangan titik $A\left(x,\;y\right)$ oleh refleksi terhadap sumbu $x$ adalah:
$\boxed{A'\left(x',\;y'\right)=\left(x,\;-y\right)}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;A\left(x,\;y\right)=\left(2,\;-3\right)$
$\odot\;\text{Refleksi sumbu}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x$

Dengan jalan Ninja, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}A'\left(x',\;y'\right)&=&\left(x,\;-y\right)\\&=&\left(2,\;-\left(-3\right)\right)\\&=&\left(2,\;3\right)\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $A'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{A'\left(2,\;3\right)}$

💡

Contoh 8

Bayangan titik $K\left(-6,\;1\right)$ jika direfleksikan terhadap garis $x=2$ adalah . . . .

a $\left(10,\;1\right)$

b $\left(-10,\;1\right)$

c $\left(10,\;-1\right)$

d $\left(6,\;-1\right)$

e $\left(6,\;1\right)$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: A

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;K\left(x,\;y\right)=\left(6,\;1\right)$
$\odot\;\text{Refleksi garis}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=2$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}A'&=&R_{x=h}A\\&=&\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2h\\0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-6\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\left(2\right)\\0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}\left(-1\right)\left(-6\right)+0\left(1\right)\\0\left(-6\right)+1\left(1\right)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6+0\\0+1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6+4\\1+0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}10\\1\end{bmatrix}\end{array}\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $K'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{K'\left(10,\;1\right)}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: A

Rumus Ninja:
Bayangan titik $A\left(x,\;y\right)$ oleh refleksi terhadap sumbu $x=h$ adalah:
$\boxed{A'\left(x',\;y'\right)=\left(2h-x,\;y\right)}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;K\left(x,\;y\right)=\left(6,\;1\right)$
$\odot\;\text{Refleksi garis}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=2$

Dengan jalan Ninja, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}A'\left(x',\;y'\right)&=&\left(2h-x,\;y\right)\\&=&\left(2\left(2\right)-\left(-6\right),\;1\right)\\&=&\left(4+6,\;1\right)\\&=&\left(10,\;1\right)\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $K'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{K'\left(10,\;1\right)}$

💡

Contoh 9

Bayangan garis $-x+3y=9$ oleh refleksi terhadap garis $y=-x$ adalah . . . .

a $-3x+y=9$

b $3x-y=9$

c $x+3y=-9$

d $-x-3y=9$

e $3x+y=-9$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: A

Note: Jika diketahui garis atau kurva, maka garis atau kurva tersebut diwakilkan dengan titik $(x,y)$ dalam perhitungan.

Penyelesaian:
Diketahui:
$\begin{array}{l}\odot\;-x+3y=9\Rightarrow\left(x,\;y\right)\end{array}$
$\begin{array}{l}\odot\;R_{y=-x}=\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}\end{array}$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}G'&=&R_{y=-x}G\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}0\left(x\right)+\left(-1\right)\left(y\right)\\\left(-1\right)\left(x\right)+0\left(y\right)\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}0+\left(-y\right)\\-x+0\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-y\\-x\end{bmatrix}\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}x'=-y&\&&y'=-x\\\boxed{-x'}=y&\&&\boxed{-y'}=x\end{array}$

Substitusi $x=\boxed{-y'}$ dan $y=\boxed{-x'}$ ke persamaan awal garis untuk menentukan bayangannya
$\begin{array}{rcl}-x+3y&=&9\\-\left(-y'\right)+3\left(-x'\right)&=&9\\y'-3x'&=&9\\-3x'+y'&=&9\end{array}$

*Tanda aksen $(')$ pada persamaan garis/kurva mewakili bayangan.

Kesimpulan: Bayangan garis adalah $\boxed{-3x+y=9}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: A

Rumus Ninja:
Bayangan garis $px+qy=r$ oleh refleksi terhadap garis $y=-x$ adalah:
$\boxed{p\left(-y\right)+q\left(-x\right)=r}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;-x+3y=9$
$\odot\;{\text{Refleksi garis}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=-x$

Dengan jalan Ninja, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}-x+3y&=&9\\-\left(-y\right)+3\left(-x\right)&=&9\\y-3x&=&9\\-3x+y&=&9\end{array}$

Kesimpulan: Bayangan garis adalah $\boxed{-3x+y=9}$

4. Dilatasi

Dilatasi adalah proses memperbesar atau memperkecil suatu bangun dari suatu titik tetap (pusat dilatasi). Bayangan yang dihasilkan memiliki bentuk dan arah yang sama, tetapi ukurannya berubah sesuai faktor pengali (skala). Jika suatu titik $A(x,\;y)$ didilatasi dengan titik pusat $\left(a,\;b\right)$ dan faktor skalar $k$ maka akan menghasilkan bayangan $A'(x',\;y')$. Seacara matematis, alur dilatasi titik tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
$\boxed{A\left(x,\;y\right)\xrightarrow{D\left[\left(a,\;b\right),\;k\right]}A'\left(x',\;y'\right)}$

Bentuk di atas juga dapat dinyatakan dalam matriks, yaitu:

$\begin{array}{rcl}A'&=&DA\\\begin{bmatrix}x'-a\\y'-b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-a\\y-b\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'-a\\y'-b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}k\left(x-a\right)\\k\left(y-b\right)\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}k\left(x-a\right)\\k\left(y-b\right)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}k\left(x-a\right)+a\\k\left(y-b\right)+b\end{bmatrix}\end{array}$

Sehingga diperoleh:

$\boxed{x'=k\left(x-a\right)+a}\;\text{dan}\;\boxed{y'=k\left(y-b\right)+b}$

Jika tiitk pusat $\left(a,\;b\right)=\left(0,\;0\right)$ maka bentuk matriksnya, yaitu:

$\begin{array}{rcl}A'&=&DA\\\begin{bmatrix}x'-a\\y'-b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-a\\y-b\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'-0\\y'-0\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-0\\y-0\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}kx\\ky\end{bmatrix}\end{array}$

Sehingga diperoleh:
$\boxed{x'=kx}\;\text{dan}\;\boxed{y'=ky}$

Catatan:
$\bullet$ Jika $k>1$ atau $k<-1$ maka jarak titik diperpanjang terhadap titik pusat dilatasi, selainnya jarak titik diperpendek.

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang dilatasi. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 10

Bayangan titik $N\left(5,\;-2\right)$ jika didilatasikan dengan pusat $\left(0,\;0\right)$ dan faktor skalar $3$ adalah . . . .

a $\left(-15,\;-6\right)$

b $\left(15,\;6\right)$

c $\left(15,\;-6\right)$

d $\left(5,\;-6\right)$

e $\left(15,\;-2\right)$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: C

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;N\left(x,\;y\right)=\left(5,\;2\right)$
$\odot\;\left(a,\;b\right)=\left(0,\;0\right)$
$\odot\;k=3$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}N'&=&DN\\&=&\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}kx\\ky\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}3\left(5\right)\\3\left(-2\right)\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}15\\-6\end{bmatrix}\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $N'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{N'\left(15,\;-6\right)}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: C

Rumus Ninja:
Bayangan titik $A\left(x,\;y\right)$ oleh dilatasi dengan pusat $\left(0,\;0\right)$ dan skalar $k$ adalah:
$\boxed{A'\left(x',\;y'\right)=\left(kx,\;ky\right)}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;N\left(x,\;y\right)=\left(5,\;2\right)$
$\odot\;\left(a,\;b\right)=\left(0,\;0\right)$
$\odot\;k=3$

Dengan jalan Ninja, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}N'\left(x',\;y'\right)&=&\left(kx,\;ky\right)\\&=&\left(3\left(5\right),\;3\left(-2\right)\right)\\&=&\left(15,\;-6\right)\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $N'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{N'\left(15,\;-6\right)}$

💡

Contoh 11

Bayangan titik $M\left(3,\;-4\right)$ jika didilatasikan dengan pusat $\left(-2,\;5\right)$ dan faktor skalar $3$ adalah . . . .

a $\left(7,\;-17\right)$

b $\left(13,\;-22\right)$

c $\left(5,\;-13\right)$

d $\left(9,\;-19\right)$

e $\left(11,\;-23\right)$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: B

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;M\left(x,\;y\right)=\left(3,\;-4\right)$
$\odot\;\left(a,\;b\right)=\left(-2,\;5\right)$
$\odot\;k=3$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}M'&=&DM\\\begin{bmatrix}x'-a\\y'-b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-a\\y-b\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'-\left(-2\right)\\y'-5\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3-\left(-2\right)\\-4-5\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'+2\\y'-5\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3+2\\-9\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'+2\\y'-5\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\-9\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'+2\\y'-5\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3\left(5\right)+0\left(-9\right)\\0\left(5\right)+3\left(-9\right)\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'+2\\y'-5\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}15+0\\0+\left(-27\right)\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'+2\\y'-5\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}15\\0-27\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'+2\\y'-5\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}15\\-27\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}15-2\\-27+5\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}13\\-22\end{bmatrix}\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $M'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{M'\left(13,\;-22\right)}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: B

Rumus Ninja:
Bayangan titik $A\left(x,\;y\right)$ oleh dilatasi dengan pusat $\left(a,\;b\right)$ dan skalar $k$ adalah:

$\boxed{A'\left(x',\;y'\right)=\left(k\left(x-a\right)+a,\;k\left(y-b\right)+b\right)}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;M\left(x,\;y\right)=\left(3,\;-4\right)$
$\odot\;\left(a,\;b\right)=\left(-2,\;5\right)$
$\odot\;k=3$

Dengan jalan Ninja, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}x'&=&k\left(x-a\right)+a\\&=&3\left(3-\left(-2\right)\right)+\left(-2\right)\\&=&3\left(3+2\right)-2\\&=&3\left(5\right)-2\\&=&15-2\\&=&13\end{array}$

$\begin{array}{rcl}y'&=&k\left(y-b\right)+b\\&=&3\left(-4-5\right)+5\\&=&3\left(-9\right)+5\\&=&-27+5\\&=&-22\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $M'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{M'\left(13,\;-22\right)}$

💡

Contoh 12

Bayangan garis $2x+5y=-1$ jika didilatasikan dengan pusat $\left(0,\;0\right)$ dan faktor skalar $4$ adalah . . . .

a $2x+5y=-4$

b $8x+20y=-1$

c $2x+5y=-16$

d $x+5y=-4$

e $x+5y=-2$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: A

Note: Jika diketahui garis atau kurva, maka garis atau kurva tersebut diwakilkan dengan titik $(x,y)$ dalam perhitungan.

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;2x+5y=-1\Rightarrow\left(x,\;y\right)$
$\odot\;\left(a,\;b\right)=\left(0,\;0\right)$
$\odot\;k=4$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}G'&=&DG\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}4&0\\0&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}4\left(x\right)+0\left(y\right)\\0\left(x\right)+4\left(y\right)\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}4x+0\\0+4y\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}4x\\4y\end{bmatrix}\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}x'=4x&\&&y'=4y\\\boxed{\frac{x'}4}=x&\&&\boxed{\frac{y'}4}=y\end{array}$

Substitusi $x=\boxed{\frac{x'}4}$ dan $y=\boxed{\frac{y'}4}$ ke persamaan awal garis untuk menentukan bayangannya
$\begin{array}{rcl}2x+5y&=&-1\\2\left(\frac{x'}4\right)+5\left(\frac{y'}4\right)&=&-1\\\frac{2x'}4+\frac{5y'}4&=&-1\;\text{(dikali 4)}\\2x'+5y'&=&-4\end{array}$

*Tanda aksen $(')$ pada persamaan garis/kurva mewakili bayangan.

Kesimpulan: Bayangan garis adalah $\boxed{2x+5y=-4}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: A

Rumus Ninja:
Bayangan garis $px+qy=r$ oleh dilatasi dengan pusat $\left(0,\;0\right)$ dan faktor skalar $k$ adalah:
$\boxed{p\left(\frac xk\right)+q\left(\frac yk\right)=r}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;2x+5y=-1\Rightarrow\left(x,\;y\right)$
$\odot\;\left(a,\;b\right)=\left(0,\;0\right)$
$\odot\;k=4$

Dengan jalan Ninja, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}2x+5y&=&-1\\2\left(\frac x4\right)+5\left(\frac y4\right)&=&-1\\\frac{2x}4+\frac{5y}4&=&-1\;\text{(dikali 4)}\\2x+5y&=&-4\end{array}$

Kesimpulan: Bayangan garis adalah $\boxed{2x+5y=-4}$

5. Rotasi

Rotasi adalah proses memutar suatu bangun terhadap suatu titik tetap (pusat rotasi) dengan sudut dan arah putaran tertentu. Bayangan yang dihasilkan memiliki bentuk dan ukuran yang sama, hanya arahnya saja yang berubah. Jika suatu titik $A(x,\;y)$ dirotasi dengan pusat $\left(a,\;b\right)$ sebesar $\alpha$ maka akan menghasilkan bayangan $A'(x',\;y')$. Seacara matematis, alur rotasi titik tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
$\boxed{A\left(x,\;y\right)\xrightarrow{R\left[\left(a,\;b\right),\;\alpha\right]}A'\left(x',\;y'\right)}$

Bentuk di atas juga dapat dinyatakan dalam matriks, yaitu:

$\begin{array}{rcl}A'&=&RA\\\begin{bmatrix}x'-a\\y'-b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\cos\;\alpha&-\sin\;\alpha\\\sin\;\alpha&\cos\;\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-a\\y-b\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'-a\\y'-b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\left(x-a\right)\cos\;\alpha-\left(y-b\right)\sin\;\alpha\\\left(x-a\right)\sin\;\alpha+\left(y-b\right)\cos\;\alpha\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\left(x-a\right)\cos\;\alpha-\left(y-b\right)\sin\;\alpha\\\left(x-a\right)\sin\;\alpha+\left(y-b\right)\cos\;\alpha\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\left(x-a\right)\cos\;\alpha-\left(y-b\right)\sin\;\alpha+a\\\left(x-a\right)\sin\;\alpha+\left(y-b\right)\cos\;\alpha+b\end{bmatrix}\end{array}$

Sehingga diperoleh:

$\boxed{x'=\left(x-a\right)\cos\;\alpha-\left(y-b\right)\sin\;\alpha+a}\;\text{dan}\;\boxed{y'=\left(x-a\right)\sin\;\alpha+\left(y-b\right)\cos\;\alpha+b}$

Jika tiitk pusat $\left(a,\;b\right)=\left(0,\;0\right)$ maka bentuk matriksnya, yaitu:

$\begin{array}{rcl}A'&=&RA\\\begin{bmatrix}x'-a\\y'-b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\cos\;\alpha&-\sin\;\alpha\\\sin\;\alpha&\cos\;\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-a\\y-b\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'-0\\y'-0\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\left(x-0\right)\cos\;\alpha-\left(y-0\right)\sin\;\alpha\\\left(x-0\right)\sin\;\alpha+\left(y-0\right)\cos\;\alpha\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}x\cos\;\alpha-y\sin\;\alpha\\x\sin\;\alpha+y\cos\;\alpha\end{bmatrix}\end{array}$

Sehingga diperoleh:

$\boxed{x'=x\cos\;\alpha-y\sin\;\alpha}\;\text{dan }\begin{array}{l}\boxed{y'=x\sin\;\alpha+y\cos\;\alpha}\end{array}$

Catatan:
$\bullet$ Jika $\alpha>0\;\left(\text{positif}\right)$ maka arah putaran berlawanan dengan arah jarum jam.
$\bullet$ Jika $\alpha<0\;\left(\text{negatif}\right)$ maka arah putaran searah dengan arah jarum jam.

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang rotasi. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 13

Bayangan titik $\left(-3,\;2\right)$ dirotasi dengan pusat $\left(0,\;0\right)$ sebesar $90^o$ berlawanan arah jarum jam. Bayangan titik tersebut adalah . . . .

a $\left(-2,\;-3\right)$

b $\left(2,\;3\right)$

c $\left(3,\;-2\right)$

d $\left(-3,\;-2\right)$

e $\left(2,\;-3\right)$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: A

Penyelesaian: Diketahui:
$\odot\;\left(x,\;y\right)=\left(-3,\;2\right)$
$\odot\;\left(a,\;b\right)=\left(0,\;0\right)$
$\odot\;\alpha=90^o$

Dengan menggunakan matriks, diperoleh:

$\begin{array}{rcl}A'&=&RA\\&=&\begin{bmatrix}\cos\;\alpha&-\sin\;\alpha\\\sin\;\alpha&\cos\;\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}\cos\;90^o&-\sin\;90^o\\\sin\;90^o&\cos\;90^o\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}0\left(-3\right)+\left(-1\right)2\\1\left(-3\right)+0\left(2\right)\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}0+\left(-2\right)\\-3+0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $A'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{A'\left(-2,\;-3\right)}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: C

Rumus Ninja:
Bayangan titik $A'\left(x,\;y\right)$ oleh rotasi dengan pusat $\left(0,\;0\right)$ dan sudut $90^o$ berlawanan arah jarum jam adalah:

$\boxed{A'\left(x',\;y'\right)=\left(x\cos\;\alpha-y\sin\;\alpha,\;x\sin\;\alpha+y\sin\;\alpha\right)}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;\left(x,\;y\right)=\left(-3,\;2\right)$
$\odot\;\left(a,\;b\right)=\left(0,\;0\right)$
$\odot\;\alpha=90^o$

Dengan jalan Ninja, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}x'&=&x\cos\;\alpha-y\sin\alpha\\&=&-3\cos\;90^o-2\sin\;90^o\\&=&-3\left(0\right)-2\left(1\right)\\&=&0-2\\&=&-2\end{array}$

$\begin{array}{rcl}y'&=&x\sin\;\alpha+y\cos\;\alpha\\&=&-3\sin\;90^o+2\cos\;90^o\\&=&-3\left(1\right)+2\left(0\right)\\&=&-3+0\\&=&-3\end{array}$

Kesimpulan: Koordinat titik $A'\left(x',\;y'\right)$ adalah $\boxed{A'\left(-2,\;-3\right)}$