Fungsi: Pengertian, Domain, Range, Fungsi Linear, dan Fungsi Kuadrat

Fungsi merupakan konsep dasar dalam matematika yang menjelaskan hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Pada materi ini, kamu akan mempelajari pengertian fungsi, cara menentukan domain dan range, serta penerapannya pada fungsi linear dan fungsi kuadrat lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya.

📚 Apa yang dipelajari?

Dalam materi ini, kita akan mempelajari: Definisi Fungsi, Domain dan Range Fungsi Linear, dan Domain dan Range Fungsi Kuadrat.

Wise Quote:

"Maka apabila engkau telah selesai dari suatu urusan, tetaplah bekerja keras untuk urusan yang lain."
(QS. Al-Insyirah: 7)

1. Definisi Fungsi

Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap anggota himpunan $X$ dengan tepat satu anggota himpunan $Y$. Perhatikan contoh berikut:

Keterangan:
$\bullet$ Gambar pertama merupakan fungsi, karena setiap anggota himpunan $X$ mempunyai tepat satu pasangan pada anggota himpunan $Y$
$\bullet$ Gambar kedua merupakan fungsi, karena setiap anggota himpunan $X$ mempunyai tepat satu pasangan pada anggota himpunan $Y$
$\bullet$ Gambar ketiga bukan fungsi, karena terdapat anggota himpunan $X$ yaitu $2$ yang mempunyai lebih dari satu pasangan pada anggota himpunan $Y$
$\bullet$ Gambar keempat bukan fungsi, karena terdapat anggota himpunan $X$ yaitu $3$ yang tidak mempunyai pasangan pada anggota himpunan $Y$

Notasi fungsi $X$ ke $Y$ dinyatakan sebagai berikut:

$f:X\rightarrow Y,\;f\left(x\right)=y$

dibaca: fungsi $f$ memetakan semua anggota himpunan $X$ tepat satu anggota himpunan $Y$ atau $f$ memetakan $x\in X$ tepat satu dengan $y\in Y$.

Perhatikan bentuk fungsi berikut:
$\bullet\; f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\;f\left(x\right)=3x-5$, dibaca: fungsi $f$ memetakan himpunan bilangan real ke himpunan bilangan real, di mana bilangan real $x$ dipetakan kepada bilangan real $(3x-5)$
$\bullet\; g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R},\;g\left(x\right)=x^2+6x-2$, dibaca: fungsi $g$ memetakan himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan real, di mana bilangan bulat $x$ dipetakan kepada bilangan real $(x^2+6x-2)$

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang fungsi. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 1

Grafik di bawah ini yang bukan merupakan $y$ adalah fungsi dari $x$ adalah . . . .

a

b

c

d

e

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: c

Penyelesaian:

Definisi Fungsi:
Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap anggota himpunan $\text{X}\;\;$ dengan tepat satu anggota himpunan $\text{Y}\;\;$

Untuk menentukan apakah suatu grafik menyatakan $y$ sebagai fungsi dari $x$, gunakan uji garis vertikal:
$\bullet$ Jika setiap garis vertikal memotong grafik paling banyak satu titik, grafik tersebut merupakan fungsi
$\bullet$ Jika ada garis vertikal yang memotong grafik di dua titik atau lebih, grafik tersebut bukan fungsi

Pada grafik di atas yang memiliki satu titik potong artinya setiap anggota himpunan $\text{X}\;\;$ memiliki tepat 1 pasangan dengan anggota himpunan $\text{Y}\;\;$, sedangkan yang tidak memiliki titik potong atau memiliki 2 titik potong atau lebih artinya ada anggota himpunan $\text{X}\;\;$ yang memiliki lebih dari 1 pasangan dengan anggota himpunan $\text{Y}\;\;$

Kesimpulan: Fungsi adalah gambar pada opsi d

💡

Contoh 2

Grafik di bawah ini yang merupakan $y$ adalah fungsi dari $x$ adalah . . . .

a

b

c

d

e

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: d

Penyelesaian:

Definisi Fungsi:
Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap anggota himpunan $\text{X}\;\;$ dengan tepat satu anggota himpunan $\text{Y}\;\;$

Untuk menentukan apakah suatu grafik menyatakan $y$ sebagai fungsi dari $x$, gunakan uji garis vertikal:
$\bullet$ Jika setiap garis vertikal memotong grafik paling banyak satu titik, grafik tersebut merupakan fungsi
$\bullet$ Jika ada garis vertikal yang memotong grafik di dua titik atau lebih, grafik tersebut bukan fungsi

Pada grafik di atas yang memiliki satu titik potong artinya setiap anggota himpunan $\text{X}\;\;$ memiliki tepat 1 pasangan dengan anggota himpunan $\text{Y}\;\;$, sedangkan yang tidak memiliki titik potong atau memiliki 2 titik potong atau lebih artinya ada anggota himpunan $\text{X}\;\;$ yang memiliki lebih dari 1 pasangan dengan anggota himpunan $\text{Y}\;\;$

Kesimpulan: Fungsi adalah gambar pada opsi d

💡

Contoh 3

Diketahui $y=f\left(x\right)$, dari tabel di bawah ini yang merupakan fungsi adalah . . . .

a

b

c

d

e

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: b

Penyelesaian:

Definisi Fungsi:
Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap anggota himpunan $\text{X}\;\;$ dengan tepat satu anggota himpunan $\text{Y}\;\;$

Pada tabel, suatu relasi merupakan fungsi jika setiap nilai $x$ memiliki tepat satu pasangan nilai $y$. Nilai $x$ boleh muncul lebih dari sekali hanya jika selalu berpasangan dengan nilai $y$ yang sama. Jika satu nilai $x$ berpasangan dengan dua atau lebih nilai $y$ yang berbeda, relasi tersebut bukan fungsi.

Kesimpulan: Fungsi adalah tabel pada opsi b

2. Domain dan Range Fungsi Linear

Domain adalah daerah asal suatu fungsi, yaitu himpunan nilai input yang diperbolehkan. Range adalah daerah hasil, yaitu himpunan nilai output yang benar-benar diperoleh dari anggota domain. Kodomain adalah himpunan tujuan yang dinyatakan dalam notasi fungsi. Perlu diingat bahwa range merupakan bagian dari kodomain.

💡 INGAT!
Domain = nilai masukan, kodomain = himpunan tujuan, dan range = hasil yang benar-benar diperoleh.

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang domain dan range fungsi linear. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 1

Jika $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z},\;f\left(x\right)=2x-3$, maka domain dan range fungsi tersebut adalah . . . .

a $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{Z}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\; y\in ganjil,\;y\in\mathbb{Z}\right\}$

b $D_f=\left\{x\;\vert\; x\in\mathbb{Z}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\; y\in\mathbb{Z}\right\}$

c $D_f=\left\{x\;\vert\; x\geq2,\;x\in\mathbb{Z}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\; y\in\mathbb{Z}\right\}$

d $D_f=\left\{x\;\vert\; x\in\mathbb{Z}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\; y\geq-3,\;y\in ganjil,\;y\in\mathbb{Z}\right\}$

e $D_f=\left\{x\;\vert\; x\in\mathbb{Z}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\; y\in genap,\;y\in\mathbb{Z}\right\}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: a

Penyelesaian:

Notasi Fungsi:
$F:X\rightarrow Y,\;F\left(x\right)=y$ (dibaca: fungsi $f$ memetakan semua anggota himpunan $X$ tepat satu anggota himpunan $Y$ atau $F$ memetakan $x\in X$ tepat satu dengan $y\in Y$)

Berdasarkan notasi fungsinya, domain dari $f(x)$ adalah semua bilangan bulat, sehingga $D_f=\left\{x\mid x\in\mathbb{Z}\right\}$.

Untuk setiap $x\in\mathbb{Z}$, nilai $2x$ selalu genap. Setelah dikurangi 3, hasilnya selalu ganjil. Sebaliknya, setiap bilangan ganjil dapat ditulis dalam bentuk $2x-3$ untuk suatu $x\in\mathbb{Z}$. Jadi range fungsi adalah himpunan semua bilangan bulat ganjil.

Kesimpulan: $D_f=\left\{x\mid x\in\mathbb{Z}\right\}$ dan $R_f=\left\{y\mid y\text{ ganjil},\;y\in\mathbb{Z}\right\}$

💡

Contoh 2

Range dari fungsi $f(x)=4x-1$ dengan domain $\left\{-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2\right\}$ adalah . . . .

a $\left\{-13,\;-9,\;-5,\;-1,\;3,\;7\right\}$

b $\left\{-12,\;-8,\;-4,\;0,\;4,\;8\right\}$

c $\left\{-13,\;-9,\;-5,\;-3,\;-1,\;7\right\}$

d $\left\{-13,\;-9,\;-5,\;-1,\;3,\;11\right\}$

e $\left\{-11,\;-7,\;-3,\;1,\;5,\;9\right\}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: a

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;f(x)=4x-1$
$\odot\;D_f=\left\{-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2\right\}$

Maka, untuk menentukan rangenya $\left(R_f\right)$ cukup substitusikan semua nilai domain $\left(x\right)$ ke fungsi $f\left(x\right)$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)&=&4x-1\\x=-3\rightarrow f\left(-3\right)&=&4\left(-3\right)-1=-12-1=\boxed{-13}\\x=-2\rightarrow f\left(-2\right)&=&4\left(-2\right)-1=-8-1=\boxed{-9}\\x=-1\rightarrow f\left(-1\right)&=&4\left(-1\right)-1=-4-1=\boxed{-5}\\x=0\rightarrow f\left(0\right)&=&4\left(0\right)-1=0-1=\boxed{-1}\\x=1\rightarrow f\left(1\right)&=&4\left(1\right)-1=4-1=\boxed3\\x=2\rightarrow f\left(2\right)&=&4\left(2\right)-1=8-1=\boxed7\end{array}$

Kesimpulan: $R_f=\left\{-13,\;-9,\;-5,\;-1,\;3,\;7\right\}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: a

Rumus Ninja:
Untuk fungsi linear naik $f\left(x\right)=ax+b$ dengan $a>0$ dan domain berurutan dapat ditentukan dengan cara berikut:
$\bullet$ Tentukan nilai fungsi dari domain terkecil
$\bullet$ Kemudian selalu tambahkan hasilnya dengan $a$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;\underbrace{f(x)=4x-1\Leftrightarrow f\left(x\right)=ax+b}_{\text{maka }\;\;\;\;\;\;\;a\;=\;4}$
$\odot\;\text{Domain terkecil}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=-3$

Maka, substitusikan $x=-3$ ke fungsi $f\left(x\right)$:
$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)&=&4x-1\\f\left(-3\right)&=&4\left(-3\right)-1\\&=&-12-1\\&=&-13\end{array}$
Dengan demikian range fungsinya adalah $\left\{\underset{}{-13}\underbrace{,\;-9}_{+4}\underbrace{,\;-5}_{+4}\underbrace{,\;-1}_{+4}\underbrace{,\;3}_{+4}\underbrace{,\;7}_{+4}\right\}$

Kesimpulan: $R_f=\left\{-13,\;-9,\;-5,\;-1,\;3,\;7\right\}$

💡

Contoh 3

Diketahui fungsi $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\;f\left(x\right)=3x+5$ dengan domain $D_f=\left\{x\;\vert\;-1\leq x\leq3\right\}$. Range dari fungsi $f\left(x\right)$ adalah . . . .

a $\left\{y\;\vert\;2\leq y\leq8\right\}\\$

b $\left\{y\;\vert\;-2\leq y\leq14\right\}\\$

c $\left\{y\;\vert\;5\leq y\leq14\right\}\\$

d $\left\{y\;\vert\;2\leq y\leq14\right\}\\$

e $\left\{y\;\vert\;0\leq y\leq8\right\}\\$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: d

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;f(x)=3x+5$
$\odot\;D_f=\left\{x\;\vert\;-1\leq x\leq3\right\}$

Maka, dengan manipulasi aljabar pada domain diperoleh:

$\begin{array}{rcl}-1&\leq x\leq&3\\-1\left(3\right)&\leq3x\leq&3\left(3\right)\rightarrow\text{dikali 3}\\-3&\leq3x\leq&9\\-3+5&\leq3x+5\leq&9+5\rightarrow\text{ditambah 5}\\2&\leq3x+5\leq&14\\2&\leq f\left(x\right)\leq&14\\2&\leq y\leq&14\end{array}$

Kesimpulan: $R_f=\left\{y\;\vert\;2\leq y\leq14\right\}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: d

Rumus Ninja:
Range dari fungsi linear $f\left(x\right)=ax+b$ dengan domain $D_f=\left\{x\;\vert\;p\leq x\leq q\right\}$ dapat ditentukan dengan cara berikut:
$\bullet$ Substitusi batas domain yaitu $x=p$ dan $x=q$ ke fungsi $f\left(x\right)$
$\bullet$ Range: $R_f=\left\{y\;\vert\;f\left(p\right)\leq y\leq f\left(q\right)\right\}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;f(x)=3x+5$
$\odot\;D_f=\left\{x\;\vert\;-1\leq x\leq3\right\}$

Maka, substitusikan batas domain yaitu $x=-1$ dan $x=3$ ke fungsi $f\left(x\right)$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)&=&3x+5\\x=-1\rightarrow f\left(-1\right)&=&3\left(-1\right)+5=-3+5=\boxed2\\x=3\rightarrow f\left(3\right)&=&3\left(3\right)+5=9+5=\boxed{14}\end{array}$

Kesimpulan: $R_f=\left\{y\;\vert\;2\leq y\leq14\right\}$

3. Domain dan Range Fungsi Kuadrat

Untuk fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ dengan $a\neq0$ dan domain seluruh bilangan real, berlaku:
$\bullet$ Domain: $D_f=\left\{x\mid x\in\mathbb{R}\right\}$
$\bullet$ Jika $a>0$, grafik terbuka ke atas sehingga $R_f=\left\{y\mid y\geq y_p\right\}$
$\bullet$ Jika $a<0$, grafik terbuka ke bawah sehingga $R_f=\left\{y\mid y\leq y_p\right\}$

$y_p$ adalah ordinat titik puncak yang dirumuskan sebagai berikut:

$y_p=\frac D{-4a}=\frac{b^2-4ac}{-4a}$

Grafik fungsi kuadrat lebih mudah digambar dengan menemukan titik puncaknya $\left(x_p,\;y_p\right)$. $x_p$ merupakan absis titik puncak yang dirumuskan sebagai berikut:

$x_p=-\frac b{2a}$

Setelah menemukan titik puncaknya, tentukan titik-titik yang absisnya di sekitar $x_p$. Kemudian, buatlah plot titik-titik tersebut pada bidang Cartesius sehingga didapat grafiknya.

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang domain dan range fungsi kuadrat. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 1

Jika $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\;f\left(x\right)=x^2+4x+3$, maka domain dan range fungsi tersebut adalah. . . .

a $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq3,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

b $D_f=\left\{x\;\vert\;x\geq-2,\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

c $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

d $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

e $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq3,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: c

Penyelesaian:
Diketahui:

$\odot\;f\left(x\right)=x^2+4x+3\rightarrow a=1,\;b=4,\;\text{dan}\;c=3$

Maka diperoleh domain fungsi kuadrat:
$D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}$

Selanjutnya, tentukan nilai $y_p$ untuk menentukan range fungsi kuadrat:
$\begin{array}{rcl}y_p&=&\frac D{-4a}\\&=&\frac{b^2-4ac}{-4a}\\&=&\frac{4^2-4\left(1\right)\left(3\right)}{-4\left(1\right)}\\&=&\frac{16-12}{-4}\\&=&\frac4{-4}\\&=&-1\end{array}$

Karena $a=1\;\left(a>0\right)$, maka range fungsi tersebut adalah $R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq y_p\right\}$
Sehingga diperoleh range fungsi kuadrat:
$R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1\right\}$

Kesimpulan:

$D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

💡

Contoh 2

Diketahui fungsi $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\;f\left(x\right)=-x^2+2x+3$ dengan domain $D_f=\left\{x\;\vert\;x\geq0\right\}$ maka range fungsi tersebut adalah. . . .

a $R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq4,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

b $R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq3,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

c $R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq0,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

d $R_f=\left\{y\;\vert\;0\leq y\leq4,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

e $R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq3,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: a

Penyelesaian:
Diketahui:

$\odot\;f\left(x\right)=-x^2+2x+3\rightarrow a=-1,\;b=2,\;\text{dan}\;c=3$

Maka untuk menentukan range fungsi kuadrat terlebih dahulu tentukan nilai $y_p:$
$\begin{array}{rcl}y_p&=&\frac D{-4a}\\&=&\frac{b^2-4ac}{-4a}\\&=&\frac{2^2-4\left(-1\right)\left(3\right)}{-4\left(-1\right)}\\&=&\frac{4+12}4\\&=&\frac{16}4\\&=&4\end{array}$

Titik puncak fungsi berada pada $x_p=-\frac{b}{2a}=1$. Karena $x_p=1$ termasuk domain $x\geq0$ dan grafik terbuka ke bawah $(a<0)$, nilai maksimum fungsi adalah $y_p=4$. Ketika $x\to\infty$, nilai fungsi menuju $-\infty$. Jadi:
$R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq4,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

Kesimpulan: $R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq4,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

💡

Contoh 3

Diketahui fungsi $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\;f\left(x\right)=x^2-1$. Domain dan range fungsi tersebut adalah. . . .

a $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

b $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

c $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq0,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

d $D_f=\left\{x\;\vert\;x>-1,\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

e $D_f=\left\{x\;\vert\;x>-1,\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq0,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: b

Penyelesaian:
Diketahui:

$\odot\;f\left(x\right)=x^2-1\rightarrow a=1,\;b=0,\;\text{dan}\;c=-1$

Maka diperoleh domain fungsi kuadrat:
$D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}$

Selanjutnya, tentukan nilai $y_p$ untuk menentukan range fungsi kuadrat:
$\begin{array}{rcl}y_p&=&\frac D{-4a}\\&=&\frac{b^2-4ac}{-4a}\\&=&\frac{0^2-4\left(1\right)\left(-1\right)}{-4\left(1\right)}\\&=&\frac{0+4}{-4}\\&=&\frac4{-4}\\&=&-1\end{array}$

Karena $a=1\;\left(a>0\right)$, maka range fungsi tersebut adalah $R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq y_p\right\}$
Sehingga diperoleh range fungsi kuadrat:
$R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1\right\}$

Kesimpulan:

$D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$