Fungsi (Bagian 1)

📚 Materi Pembahasan

Dalam postingan ini, kita akan mempelajari: Definisi Fungsi, Domain dan Range Fungsi Lienar, dan Domain dan Range Fungsi Kuadrat.

Wise Quote:

"Maka apabila engkau telah selesai dari suatu urusan, tetaplah bekerja keras untuk urusan yang lain."
(QS. Al-Insyirah: 7)

1. Definisi Fungsi

Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap anggota himpunan $X$ dengan tepat satu anggota himpunan $Y$. Perhatikan contoh berikut:

Keterangan:
$\bullet$ Gambar pertama merupakan fungsi, karena setiap anggota himpunan $X$ mempunyai tepat satu pasangan pada anggota himpunan $Y$
$\bullet$ Gambar kedua merupakan fungsi, karena setiap anggota himpunan $X$ mempunyai tepat satu pasangan pada anggota himpunan $Y$
$\bullet$ Gambar ketiga bukan fungsi, karena terdapat anggota himpunan $X$ yaitu $2$ yang mempunyai lebih dari satu pasangan pada anggota himpunan $Y$
$\bullet$ Gambar keempat bukan fungsi, karena terdapat anggota himpunan $X$ yaitu $3$ yang tidak mempunyai pasangan pada anggota himpunan $Y$

Notasi fungsi $X$ ke $Y$ dinyatakan sebagai berikut:

$f:X\rightarrow Y,\;f\left(x\right)=y$

dibaca: fungsi $f$ memetakan semua anggota himpunan $X$ tepat satu dengan anggota himpunan $Y$ atau $f$ memetakan $x\in X$ tepat satu dengan $y\in Y$.

Perhatikan bentuk fungsi berikut:
$\bullet\; f:R\rightarrow R,\;f\left(x\right)=3x-5$, dibaca: fungsi $f$ memetakan himpunan bilangan real ke himpunan bilangan real, di mana bilangan real $x$ dipetakan kepada bilangan real $(3x-5)$
$\bullet\; g:Z\rightarrow R,\;g\left(x\right)=x^2+6x-2$, dibaca: fungsi $g$ memetakan himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan real, di mana bilangan bulat $x$ dipetakan kepada bilangan real $(x^2+6x-2)$

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang fungsi. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 1

Grafik di bawah ini yang bukan merupakan $y$ adalah fungsi dari $x$ adalah . . . .

a

b

c

d

e

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: c

Penyelesaian:

Definisi Fungsi:
Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap anggota himpunan $\text{X}\;\;$ dengan tepat satu anggota himpunan $\text{Y}\;\;$

Setelah memahami definisi fungsi di atas, selanjutnya kita buat garis vertikal yang memotong grafik fungsi untuk setiap pilihan, kemudian gunakan ketentuan berikut ini:
$\bullet$ Jika garis vertikal memotong grafik di 1 titik maka grafik tersebut merupakan fungsi
$\bullet$ Jika garis vertikal tidak memotong grafik atau memotong grafik di 2 titik atau lebih maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi

Pada grafik di atas yang memiliki 1 titik potong artinya setiap anggota himpunan $\text{X}\;\;$ memiliki tepat 1 pasangan dengan anggota himpunan $\text{Y}\;\;$, sedangkan yang yang tidak memiliki titik potong atau memiliki 2 titik potong atau lebih artinya ada anggota himpunan $\text{X}\;\;$ yang memiliki lebih dari 1 pasangan dengan anggota himpunan $\text{Y}\;\;$

Kesimpulan: Bukan fungsi adalah gambar pada opsi c

💡

Contoh 2

Grafik di bawah ini yang merupakan $y$ adalah fungsi dari $x$ adalah . . . .

a

b

c

d

e

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: d

Penyelesaian:

Definisi Fungsi:
Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap anggota himpunan $\text{X}\;\;$ dengan tepat satu anggota himpunan $\text{Y}\;\;$

Setelah memahami definisi fungsi di atas, selanjutnya kita buat garis vertikal yang memotong grafik fungsi untuk setiap pilihan, kemudian gunakan ketentuan berikut ini:
$\bullet$ Jika garis vertikal memotong grafik di 1 titik maka grafik tersebut merupakan fungsi
$\bullet$ Jika garis vertikal tidak memotong grafik atau memotong grafik di 2 titik atau lebih maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi

Pada grafik di atas yang memiliki 1 titik potong artinya setiap anggota himpunan $\text{X}\;\;$ memiliki tepat 1 pasangan dengan anggota himpunan $\text{Y}\;\;$, sedangkan yang yang tidak memiliki titik potong atau memiliki 2 titik potong atau lebih artinya ada anggota himpunan $\text{X}\;\;$ yang memiliki lebih dari 1 pasangan dengan anggota himpunan $\text{Y}\;\;$

Kesimpulan: Bukan fungsi adalah gambar pada opsi c

💡

Contoh 3

Diketahui $y=f\left(x\right)$, dari tabel di bawah ini yang merupakan fungsi adalah . . . .

a

b

c

d

e

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: b

Penyelesaian:

Definisi Fungsi:
Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap anggota himpunan $\text{X}\;\;$ dengan tepat satu anggota himpunan $\text{Y}\;\;$

Pada tabel di atas fungsi adalah tabel yang memiliki nilai $\text{X}\;\;$ berbeda artinya setiap anggota himpunan $\text{X}\;\;$ memiliki tepat 1 pasangan dengan anggota himpunan $\text{Y}\;\;$, sedangkan bukan fungsi adalah tabel yang memiliki 2 atau lebih nilai $\text{X}\;\;$ yang sama artinya ada anggota himpunan $\text{X}\;\;$ yang memiliki lebih dari 1 pasangan dengan anggota himpunan $\text{Y}\;\;$

Kesimpulan: Fungsi adalah tabel pada opsi b

2. Domain dan Range Fungsi Linear

Domain adalah daerah asal suatu fungsi. Dengan kata lain, domain merupakan nilai variabel yang boleh disubstitusikan pada suatu fungsi. Range adalah daerah hasil yang diperoleh dengan mensubstitusikan anggota domain pada fungsinya.

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang domain dan range fungsi linear. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 4

Jika $f:Z\rightarrow Z,\;f\left(x\right)=2x-3$, maka domain dan range fungsi tersebut adalah . . . .

a $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in Z\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\; y\in ganjil,\;y\in Z\right\}$

b $D_f=\left\{x\;\vert\; x\in Z\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\; y\in Z\right\}$

c $D_f=\left\{x\;\vert\; x\geq2,\;x\in Z\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\; y\in Z\right\}$

d $D_f=\left\{x\;\vert\; x\in Z\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\; y\geq-3,\;y\in ganjil,\;y\in Z\right\}$

e $D_f=\left\{x\;\vert\; x\in Z\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\; y\in genap,\;y\in Z\right\}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: b

Penyelesaian:

Notasi Fungsi:
$F:X\rightarrow Y,\;F\left(x\right)=y$ (dibaca: fungsi $f$ memetakan semua anggota himpunan $X$ tepat satu dengan anggota himpunan $Y$ atau $F$ memetakan $x\in X$ tepat satu dengan $y\in Y$)

Berdasarkan notasi fungsinya, tampak jelas domain dari $f\left(x\right)$ adalah semua bilangan $x$ bulat atau dapat juga ditulis dengan $D_f=\left\{x\vert x\in Z\right\}$

Range dari $f\left(x\right)=2x-3$ dapat ditentukan dengan memperhatikan domain dan operasi yang ada pada fungsi tersebut. Jika bilangan bulat $x$ dikalikan bilangan bulat $2$, kemudian dikurangkan oleh bilangan bulat $3$, hasilnya pasti bilangan bulat. Berbeda halnya bila ada operasi pembagian yang memungkinkan munculnya bilangan desimal dan lain-lain. Dengan demikian, range dari $f\left(x\right)=2x-3$ adalah semua $y$ bilangan bulat atau dapat ditulis dengan $R_f=\left\{y\vert y\in Z\right\}$

Kesimpulan: $D_f=\left\{x\vert x\in Z\right\}$ dan $R_f=\left\{y\vert y\in Z\right\}$

💡

Contoh 5

Range dari fungsi $f(x)=4x-1$ dengan domain $\left\{-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2\right\}$ adalah . . . .

a $\left\{-13,\;-9,\;-5,\;-1,\;3,\;7\right\}$

b $\left\{-12,\;-8,\;-4,\;0,\;4,\;8\right\}$

c $\left\{-13,\;-9,\;-5,\;-3,\;-1,\;7\right\}$

d $\left\{-13,\;-9,\;-5,\;-1,\;3,\;11\right\}$

e $\left\{-11,\;-7,\;-3,\;1,\;5,\;9\right\}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: a

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;f(x)=4x-1$
$\odot\;D_f=\left\{-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2\right\}$

Maka, untuk menentukan rangenya $\left(R_f\right)$ cukup substitusikan semua nilai domain $\left(x\right)$ ke fungsi $f\left(x\right)$
$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)&=&4x-1\\x=-3\rightarrow f\left(-3\right)&=&4\left(-3\right)-1=-12-1=\boxed{-13}\\x=-2\rightarrow f\left(-2\right)&=&4\left(-2\right)-1=-8-1=\boxed{-9}\\x=-1\rightarrow f\left(-1\right)&=&4\left(-1\right)-1=-4-1=\boxed{-5}\\x=0\rightarrow f\left(0\right)&=&4\left(0\right)-1=0-1=\boxed{-1}\\x=1\rightarrow f\left(1\right)&=&4\left(1\right)-1=4-1=\boxed3\\x=2\rightarrow f\left(2\right)&=&4\left(2\right)-1=8-1=\boxed7\end{array}$

Kesimpulan: $R_f=\left\{-13,\;-9,\;-5,\;-1,\;3,\;7\right\}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: a

Rumus Ninja:
Range dari fungsi linear $f\left(x\right)=ax+b$ dengan domain berurutan dapat ditentukan dengan cara berikut:
$\bullet$ Tentukan nilai fungsi dari domain terkecil
$\bullet$ Kemudian selalu tambahkan hasilnya dengan $a$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;\underbrace{f(x)=4x-1\Leftrightarrow f\left(x\right)=ax+b}_{\text{maka }\;\;\;\;\;\;\;a\;=\;4}$
$\odot\;\text{Domain terkecil}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=-3$

Maka, substitusikan $x=-3$ ke fungsi $f\left(x\right)$:
$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)&=&4x-1\\f\left(-3\right)&=&4\left(-3\right)-1\\&=&-12-1\\&=&-13\end{array}$
Dengan demikian range fungsinya adalah $\left\{\underset{}{-13}\underbrace{,\;-9}_{+4}\underbrace{,\;-5}_{+4}\underbrace{,\;-1}_{+4}\underbrace{,\;3}_{+4}\underbrace{,\;7}_{+4}\right\}$

Kesimpulan: $R_f=\left\{-13,\;-9,\;-5,\;-1,\;3,\;7\right\}$

💡

Contoh 6

Diketahui fungsi $f:R\rightarrow R,\;f\left(x\right)=3x+5$ dengan domain $D_f=\left\{x\;\vert\;-1\leq x\leq3\right\}$. Range dari fungsi $f\left(x\right)$ adalah . . . .

a $\left\{y\;\vert\;2\leq y\leq8\right\}\\$

b $\left\{y\;\vert\;-2\leq y\leq14\right\}\\$

c $\left\{y\;\vert\;5\leq y\leq14\right\}\\$

d $\left\{y\;\vert\;2\leq y\leq14\right\}\\$

e $\left\{y\;\vert\;0\leq y\leq8\right\}\\$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: d

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;f(x)=3x+5$
$\odot\;D_f=\left\{x\;\vert\;-1\leq x\leq3\right\}$

Maka, dengan manipulasi aljabar pada domain diperoleh:
$\begin{array}{rcl}-1&\leq x\leq&3\\-1\left(3\right)&\leq3x\leq&3\left(3\right)\rightarrow\text{semua ruas dikali 3}\\-3&\leq3x\leq&9\\-3+5&\leq3x+5\leq&9+5\rightarrow\text{semua ruas ditambah 5}\\2&\leq3x+5\leq&14\\2&\leq f\left(x\right)\leq&14\\2&\leq y\leq&14\end{array}$

Kesimpulan: $R_f=\left\{y\;\vert\;2\leq y\leq14\right\}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: d

Rumus Ninja:
Range dari fungsi linear $f\left(x\right)=ax+b$ dengan domain $D_f=\left\{y\;\vert\;p\leq x\leq q\right\}$ dapat ditentukan dengan cara berikut:
$\bullet$ Substitusi batas domain yaitu $x=p$ dan $x=q$ ke fungsi $f\left(x\right)$
$\bullet$ Domain: $R_f=\left\{y\;\vert\;f\left(p\right)\leq y\leq f\left(q\right)\right\}$

Langkah Ninja:

Diketahui:
$\odot\;f(x)=3x+5$
$\odot\;D_f=\left\{x\;\vert\;-1\leq x\leq3\right\}$

Maka, substitusikan batas domain yaitu $x=-1$ dan $x=3$ ke fungsi $f\left(x\right)$
$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)&=&3x+5\\x=-1\rightarrow f\left(-1\right)&=&3\left(-1\right)+5=-3+5=\boxed2\\x=3\rightarrow f\left(3\right)&=&3\left(3\right)+5=9+5=\boxed{14}\end{array}$

Kesimpulan: $R_f=\left\{y\;\vert\;2\leq y\leq14\right\}$

3. Domain dan Range Fungsi Kuadrat

Domain dan range dari sebuah fungsi kuadrat $f(x)=y=ax^2+bx+c$, $a\neq0$ berlaku secara umum, yaitu sebagai berikut:
$\bullet$ Domain fungsi kuadrat adalah $D_f=\left\{x\vert x\in R\right\}$
$\bullet$ Range fungsi kuadrat untuk $a<0$ adalah $R_f=\left\{y\vert y\leq y_p\right\}$, sedangkan untuk $a>0$ adalah $R_f=\left\{y\vert y\geq y_p\right\}$

$y_p$ adalah ordinat titik puncak yang dirumuskan sebagai berikut:

$y_p=\frac D{-4a}=\frac{b^2-4ac}{-4a}$

Grafik fungsi kuadrat lebih mudah digambar dengan menemukan titik puncaknya $\left(x_p,\;y_p\right)$. $x_p$ merupakan absis titik puncak yang dirumuskan sebagai berikut:

$x_p=-\frac b{2a}$

Setelah menemukan titik puncaknya, tentukan titik-titik yang absisnya di sekitar $x_p$. Kemudian, buatlah plot titik-titik tersebut pada bidang Cartesius sehingga didapat grafiknya.

Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang domain dan range fungsi kuadrat. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 7

Jika $f:R\rightarrow R,\;f\left(x\right)=x^2+4x+3$, maka domain dan range fungsi tersebut adalah. . . .

a $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq3,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

b $D_f=\left\{x\;\vert\;x\geq-2,\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

c $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

d $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

e $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq3,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: c

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;f\left(x\right)=x^2+4x+3\rightarrow a=1,\;b=4,\;\text{dan}\;c=1$

Maka diperoleh domain fungsi kuadrat:
$D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}$

Selanjutnya, tentukan nilai $y_p$ untuk menentukan range fungsi kuadrat:
$\begin{array}{rcl}y_p&=&\frac D{-4a}\\&=&\frac{b^2-4ac}{-4a}\\&=&\frac{4^2-4\left(1\right)\left(3\right)}{-4\left(1\right)}\\&=&\frac{16-12}{-4}\\&=&\frac4{-4}\\&=&-1\end{array}$

Karena $a=1\;\left(a>0\right)$, maka range fungsi tersebut adalah $R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq y_p\right\}$
Sehingga diperoleh range fungsi kuadrat:
$R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1\right\}$

Kesimpulan: $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

💡

Contoh 8

Diketahui fungsi $f:R\rightarrow R,\;f\left(x\right)=-x^2+2x+3$ dengan domain $D_f=\left\{x\;\vert\;x\geq0\right\}$ maka range fungsi tersebut adalah. . . .

a $R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq4,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

b $R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq3,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

c $R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq0,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

d $R_f=\left\{y\;\vert\;0\leq y\leq4,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

e $R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq3,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: a

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;f\left(x\right)=-x^2+2x+3\rightarrow a=-1,\;b=2,\;\text{dan}\;c=3$

Maka untuk menentukan range fungsi kuadrat terlebih dahulu tentukan nilai $y_p:$
$\begin{array}{rcl}y_p&=&\frac D{-4a}\\&=&\frac{b^2-4ac}{-4a}\\&=&\frac{2^2-4\left(-1\right)\left(3\right)}{-4\left(-1\right)}\\&=&\frac{4+12}4\\&=&\frac{16}4\\&=&4\end{array}$

Karena $a=-1\;\left(a<0\right)$, maka range fungsi tersebut adalah $R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq y_p\right\}$
Sehingga diperoleh range fungsi kuadrat:
$R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq 4\right\}$

Kesimpulan: $R_f=\left\{y\;\vert\;y\leq4,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

💡

Contoh 9

Diketahui fungsi $f:R\rightarrow R,\;f\left(x\right)=x^2-1$. Domain dan range fungsi tersebut adalah. . . .

a $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

b $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

c $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq0,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

d $D_f=\left\{x\;\vert\;x>-1,\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

e $D_f=\left\{x\;\vert\;x>-1,\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq0,\;y\in\mathbb{R}\right\}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: b

Penyelesaian:
Diketahui:
$\odot\;f\left(x\right)=x^2-1\rightarrow a=1,\;b=0,\;\text{dan}\;c=-1$

Maka diperoleh domain fungsi kuadrat:
$D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}$

Selanjutnya, tentukan nilai $y_p$ untuk menentukan range fungsi kuadrat:
$\begin{array}{rcl}y_p&=&\frac D{-4a}\\&=&\frac{b^2-4ac}{-4a}\\&=&\frac{0^2-4\left(1\right)\left(-1\right)}{-4\left(1\right)}\\&=&\frac{0+4}{-4}\\&=&\frac4{-4}\\&=&-1\end{array}$

Karena $a=1\;\left(a>0\right)$, maka range fungsi tersebut adalah $R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq y_p\right\}$
Sehingga diperoleh range fungsi kuadrat:
$R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1\right\}$

Kesimpulan: $D_f=\left\{x\;\vert\;x\in\mathbb{R}\right\}\;\text{dan}\;R_f=\left\{y\;\vert\;y\geq-1,\;y\in\mathbb{R}\right\}$