Dimensi tiga merupakan materi geometri yang membahas hubungan antar titik, garis, dan bidang dalam ruang. Pada materi ini, kamu akan mempelajari cara menentukan jarak titik ke titik, jarak titik ke garis, dan jarak titik ke bidang, khususnya pada bangun ruang seperti kubus, lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya.
📚 Apa yang dipelajari?
Dalam materi ini, kita akan mempelajari: jarak titik ke titik, jarak titik ke garis, dan jarak titik ke bidang.
Wise Quote:
"Barang siapa yang menginginkan kejernihan hatinya, hendaknya ia lebih mengutamakan Allah daripada menuruti berbagai keinginan hawa nafsunya." (Ibnu Qoyyim Rahimahullah)
1. Jarak Titik ke Titik
Misalkan terdapat titik A dan titik B sebagai berikut.
Jarak titik A ke titik B adalah panjang ruas garis AB yang menghubungkan kedua titik tersebut. Pada bangun ruang, jarak dua titik dapat ditentukan dengan membuat garis bantu hingga terbentuk segitiga siku-siku, kemudian menggunakan teorema Pythagoras.
Jika titik $A(x_1,y_1,z_1)$ dan $B(x_2,y_2,z_2)$ diketahui dalam koordinat ruang, jarak titik A ke titik B dapat ditentukan dengan rumus:
$\left|AB\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2+\left(z_1-z_2\right)^2}$
💡 INGAT!
Jarak titik ke titik: hubungkan kedua titik. Jika panjang ruas garis belum dapat dihitung langsung, buat garis bantu hingga terbentuk segitiga siku-siku, lalu gunakan teorema Pythagoras.
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami jarak titik ke titik. Semoga bermanfaat!
Jarak titik ke titik: hubungkan kedua titik. Jika panjang ruas garis belum dapat dihitung langsung, buat garis bantu hingga terbentuk segitiga siku-siku, lalu gunakan teorema Pythagoras.
Contoh 1
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke titik F adalah...cm
Pembahasan Lengkap
Jawaban: b
Penyelesaian:Perhatikan gambar berikut:
2. Terbentuk ruas garis AF (akan dicari)
3. Hubungkan ruas garis AF ke titik B
4. Terbentuk $\bigtriangleup$ABF siku-siku di B
5. Hitung AF dengan Teorema Pythagoras
$\;\;\;\text{Sisi}\;\;\;\;\;=6\;cm,\;\text{maka:}$
$\;\;\;AB=6\;cm,\;BF=6\;cm$
$\;\;\;$sehingga:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}AF&=&\sqrt{\left(AB\right)^2+\left(BF\right)^2}\\&=&\sqrt{6^2+6^2}\\&=&\sqrt{36+36}\\&=&\sqrt{72}\\&=&\sqrt{36\times2}\\&=&\sqrt{36}\times\sqrt2\\&=&\boxed{6\sqrt2}\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: b
Rumus Ninja:
Panjang diagonal sisi kubus adalah $\boxed{a\sqrt2}$
$a=$ panjang sisi kubus
Panjang diagonal sisi kubus adalah $\boxed{a\sqrt2}$
$a=$ panjang sisi kubus
Langkah Ninja:
Panjang sisi kubus $=6\;cm$Jarak titik A ke titik F adalah panjang ruas garis AF
Ruas garis AF adalah diagonal sisi kubus, sehingga:
$\begin{array}{rcl}AF&=&a\sqrt2\\&=&\boxed{6\sqrt2}\end{array}$
Contoh 2
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke titik E adalah...cm
Pembahasan Lengkap
Jawaban: c
Penyelesaian:Perhatikan gambar berikut:
2. Terbentuk ruas garis CE (akan dicari)
3. Hubungkan garis CE ke titik A
4. Terbentuk $\bigtriangleup$CAE siku-siku di A
5. Hitung CE dengan Pythagoras
$\;\;\;\text{Sisi}\;\;\;\;\;=4\;cm,\;\text{maka:}$
$\;\;\;AE=4\;cm,\;AC=4\sqrt2\;cm$ (Diagonal sisi)
$\;\;\;$sehingga:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}CE&=&\sqrt{\left(AE\right)^2+\left(AC\right)^2}\\&=&\sqrt{4^2+\left(4\sqrt2\right)^2}\\&=&\sqrt{16+\left(4^2.\left(\sqrt2\right)^2\right)}\\&=&\sqrt{16+16.2}\\&=&\sqrt{16+32}\\&=&\sqrt{48}\\&=&\sqrt{16\times3}\\&=&\sqrt{16}\times\sqrt3\\&=&\boxed{4\sqrt3}\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: c
Rumus Ninja:
Panjang diagonal ruang kubus adalah $\boxed{a\sqrt3}$
$a=$ panjang sisi kubus
Panjang diagonal ruang kubus adalah $\boxed{a\sqrt3}$
$a=$ panjang sisi kubus
Langkah Ninja:
Panjang sisi kubus $=4\;cm$Jarak titik C ke titik E adalah panjang ruas garis CE
Ruas garis CE adalah diagonal ruang kubus, sehingga:
$\begin{array}{rcl}CE&=&a\sqrt3\\&=&\boxed{4\sqrt3}\end{array}$
Contoh 3
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P terletak di titik tengah AD. Jika jarak titik H ke titik P adalah...cm
Pembahasan Lengkap
Jawaban: d
Penyelesaian:Perhatikan gambar berikut:
2. Terbentuk ruas garis HP (akan dicari)
3. Hubungkan garis HP ke titik D
4. Terbentuk $\bigtriangleup$HDP siku-siku di D
5. Hitung HP dengan Pythagoras
$\;\;\;\text{Sisi}\;\;\;\;\;=8\;cm,\;\text{maka:}$
$\;\;\;HD=8\;cm,\;DP=4\;cm$
$\;\;\;$sehingga:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}HP&=&\sqrt{\left(HD\right)^2+\left(DP\right)^2}\\&=&\sqrt{8^2+4^2}\\&=&\sqrt{64+16}\\&=&\sqrt{80}\\&=&\sqrt{16\times5}\\&=&\sqrt{16}\times\sqrt5\\&=&\boxed{4\sqrt5}\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: d
Rumus Ninja:
Jarak titik H ke pertengahan AD adalah $\boxed{\frac a2\sqrt5}$
$a=$ panjang sisi kubus
Jarak titik H ke pertengahan AD adalah $\boxed{\frac a2\sqrt5}$
$a=$ panjang sisi kubus
Langkah Ninja:
Panjang sisi kubus $=8\;cm$Titik P terletak di titik tengah AD
Jarak titik H ke titik P adalah panjang ruas garis HP, sehingga:
$\begin{array}{rcl}HP&=&\frac a2\sqrt5\\&=&\frac82\sqrt5\\&=&\boxed{4\sqrt5}\end{array}$
Catatan:
Panjang ruas garis lain yang bisa dihitung menggunakan rumus $\boxed{\frac a2\sqrt5}$ adalah:
Jarak H ke titik tengah DC
Jarak H ke titik tengah FG
Jarak E ke titik tengah AB
dan lain-lain
Contoh 4
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik G ke titik Q jika Q terletak di titik tengah AB adalah...cm
Pembahasan Lengkap
Jawaban: e
Penyelesaian:Perhatikan gambar berikut:
2. Terbentuk ruas garis GQ (akan dicari)
3. Hubungkan garis GQ ke titik B
4. Terbentuk $\bigtriangleup$GBQ siku-siku di B
5. Hitung GQ dengan Pythagoras
$\;\;\;\text{Sisi}\;\;\;\;\;=6\;cm,\;\text{maka:}$
$\;\;\;BQ=3\;cm,\;BG=6\sqrt2\;cm$ (Diagonal sisi)
$\;\;\;$sehingga:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}GQ&=&\sqrt{\left(BG\right)^2+\left(BQ\right)^2}\\&=&\sqrt{\left(6\sqrt2\right)^2+3^2}\\&=&\sqrt{\left(6^2.\left(\sqrt2\right)^2\right)+9}\\&=&\sqrt{36.2+9}\\&=&\sqrt{72+9}\\&=&\boxed{\sqrt{81}}\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: e
Rumus Ninja:
Jarak titik G ke pertengahan AB adalah $\boxed{\frac32a}$
$a=$ panjang sisi kubus
Jarak titik G ke pertengahan AB adalah $\boxed{\frac32a}$
$a=$ panjang sisi kubus
Langkah Ninja:
Panjang sisi kubus $=6\;cm$Titik Q terletak di pertengahan AB
Jarak titik G ke titik Q adalah panjang ruas garis GQ, sehingga:
$\begin{array}{rcl}GQ&=&\frac32a\\&=&\frac32\left(6\right)\\&=&\frac{18}2\\&=&9\\&=&\boxed{\sqrt{81}}\end{array}$
Catatan:
Panjang ruas garis lain yang bisa dihitung menggunakan rumus $\boxed{\frac32a}$ adalah:
Jarak F ke titik tengah AD
Jarak H ke titik tengah AB
Jarak E ke titik tengah BC
dan lain-lain
Contoh 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jarak titik A ke titik potong diagonal bidang EFGH adalah...cm
Pembahasan Lengkap
Jawaban: c
Penyelesaian:Perhatikan gambar berikut:
2. Hubungkan titik A dan titik R
3. Terbentuk ruas garis AR (akan dicari)
4. Hubungkan garis AR ke titik E
5. Terbentuk $\bigtriangleup$AER siku-siku di E
6. Hitung AR dengan Pythagoras
$\;\;\;\text{Sisi}\;\;\;\;\;=10\;cm,\;\text{maka:}$
$\;\;\;AE=10\;cm,\;ER=5\sqrt2\;cm$ ($\frac12$ Diagonal sisi)
$\;\;\;$sehingga:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}AR&=&\sqrt{\left(AE\right)^2+\left(ER\right)^2}\\&=&\sqrt{10^2+\left(5\sqrt2\right)^2}\\&=&\sqrt{100+\left(5^2.\left(\sqrt2\right)^2\right)}\\&=&\sqrt{100+\left(25.2\right)}\\&=&\sqrt{100+50}\\&=&\sqrt{150}\\&=&\sqrt{25\times6}\\&=&\sqrt{25}\times\sqrt6\\&=&\boxed{5\sqrt6}\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: c
Rumus Ninja:
Jarak titik A ke titik potong diagonal bidang EFGH adalah $\boxed{\frac a2\sqrt6}$
$a=$ panjang sisi kubus
Jarak titik A ke titik potong diagonal bidang EFGH adalah $\boxed{\frac a2\sqrt6}$
$a=$ panjang sisi kubus
Langkah Ninja:
Panjang sisi kubus $=10\;cm$Titik R terletak di titik potong diagonal bidang EFGH
Jarak titik A ke titik R adalah panjang ruas garis AR, sehingga:
$\begin{array}{rcl}AR&=&\frac a2\sqrt6\\&=&\frac{10}2\sqrt6\\&=&\boxed{5\sqrt6}\end{array}$
Catatan:
Panjang ruas garis lain yang bisa dihitung menggunakan rumus $\boxed{\frac a2\sqrt6}$ adalah:
Jarak B ke titik potong diagonal bidang EFGH
Jarak C ke titik potong diagonal bidang EFGH
Jarak H ke titik tengah ABCD
dan lain-lain
2. Jarak Titik ke Garis
Jarak titik ke garis adalah panjang ruas garis terpendek dari suatu titik ke garis tersebut. Ruas garis ini harus tegak lurus terhadap garis yang dituju. Perhatikan gambar berikut.
Jika titik A’ merupakan kaki tegak lurus dari titik A pada garis k, maka jarak titik A ke garis k adalah panjang ruas garis $AA’$.
💡 INGAT!
Jarak titik ke garis: tarik ruas garis dari titik menuju garis hingga tegak lurus. Panjang ruas garis tegak lurus tersebut dapat dihitung, misalnya dengan teorema Pythagoras atau perbandingan luas segitiga.
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami jarak titik ke garis. Semoga bermanfaat!
Jarak titik ke garis: tarik ruas garis dari titik menuju garis hingga tegak lurus. Panjang ruas garis tegak lurus tersebut dapat dihitung, misalnya dengan teorema Pythagoras atau perbandingan luas segitiga.
Contoh 1
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm. Jika titik T terletak pada titik tengah ruas garis HF, maka jarak titik A ke garis CT adalah...cm
Pembahasan Lengkap
Jawaban: c
Penyelesaian:Perhatikan gambar berikut:
2. Terbentuk $\bigtriangleup$ATC sama kaki
3. Tarik garis dari titik A dan $\perp$ TC
4. Terbentuk ruas garis AX (akan dicari)
Perhatikan gambar berikut:
6. Hitung AX dengan perbandingan luas segitiga
$\;\;\;\begin{array}{rcl}\text{luas segitiga ATC}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&=&\text{luas segitiga ATC}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\frac12\;\text{alas}\;\;\;\;\;\;\times\;\text{tinggi}\;\;\;\;\;\;&=&\frac12\;\text{alas}\;\;\;\;\;\;\times\;\text{tinggi}\\\frac12AC.TO&=&\frac12CT.AX\\\frac12\left(9\sqrt2\right).9&=&\frac12\left(\frac92\sqrt6\right).AX\Rightarrow\text{dikali}\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\2\left(9\sqrt2\right)9&=&9\sqrt6AX\Rightarrow\text{dibagi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;9\\2\left(9\sqrt2\right)&=&\sqrt6AX\Rightarrow\text{dibagi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sqrt2\\2.9&=&\sqrt3AX\\18&=&\sqrt3AX\\\frac{18}{\sqrt3}&=&AX\\\frac{18}{\sqrt3}\times\frac{\sqrt3}{\sqrt3}&=&AX\\\frac{18\sqrt3}3&=&AX\\\boxed{6\sqrt3}&=&AX\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: c
Rumus Ninja:
Jarak titik A ke garis TC adalah $\boxed{\frac23a\sqrt3}$
$a=$ panjang sisi kubus
Jarak titik A ke garis TC adalah $\boxed{\frac23a\sqrt3}$
$a=$ panjang sisi kubus
Langkah Ninja:
Panjang sisi kubus $=9\;cm$Perhatikan gambar berikut:
$\begin{array}{rcl}AX&=&\frac23\left(AG\right)\\&=&\frac23\left(a\sqrt3\right)\\&=&\frac23\left(9\sqrt3\right)\\&=&\frac{18}3\sqrt3\\&=&\boxed{6\sqrt3}\end{array}$
3. Jarak Titik ke Bidang
Jarak titik ke bidang adalah panjang ruas garis terpendek dari suatu titik ke bidang tersebut. Ruas garis yang menyatakan jarak harus tegak lurus terhadap bidang. Perhatikan gambar berikut:
Jika titik A' merupakan proyeksi tegak lurus titik P pada bidang, maka jarak titik P ke bidang tersebut adalah panjang ruas garis $PA'$.
💡 INGAT!
Jarak titik ke bidang: tentukan ruas garis dari titik yang tegak lurus terhadap bidang. Pada beberapa soal, kita dapat membuat bidang bantu yang tegak lurus terhadap bidang yang dituju, lalu menentukan jarak titik ke garis potong kedua bidang.
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami jarak titik ke bidang. Semoga bermanfaat!
Jarak titik ke bidang: tentukan ruas garis dari titik yang tegak lurus terhadap bidang. Pada beberapa soal, kita dapat membuat bidang bantu yang tegak lurus terhadap bidang yang dituju, lalu menentukan jarak titik ke garis potong kedua bidang.
Contoh 1
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang BGD adalah...cm
Pembahasan Lengkap
Jawaban: e
Penyelesaian:Perhatikan gambar berikut:
2. Terbentuk bidang EGCA
3. Tentukan garis potong bidang BDG dan EGCA
4. Terbentuk garis potong GO
5. Jarak titik E ke bidang BDG $=$ jarak titik E ke garis GO
6. Terbentuk $\bigtriangleup$EGO sama kaki
7. Tarik garis dari titik E $\perp$ GO
8. Terbentuk ruas garis EX (akan dicari)
Perhatikan gambar berikut:
10. Hitung EX dengan perbandingan luas segitiga, sehingga:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}\text{luas segitiga EGO}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&=&\text{luas segitiga EGO}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\frac12\;\text{alas}\;\;\;\;\;\;\times\;\text{tinggi}\;\;\;\;\;\;&=&\frac12\;\text{alas}\;\;\;\;\;\;\times\;\text{tinggi}\\\frac12EG.TO&=&\frac12GO.EX\\\frac12\left(8\sqrt2\right).8&=&\frac12\left(\frac82\sqrt6\right).EX\Rightarrow\text{dikali}\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\2\left(8\sqrt2\right)8&=&8\sqrt6EX\Rightarrow\text{dibagi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;8\\2\left(8\sqrt2\right)&=&\sqrt6EX\Rightarrow\text{dibagi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sqrt2\\2.8&=&\sqrt3EX\\16&=&\sqrt3EX\\\frac{16}{\sqrt3}&=&EX\\\frac{16}{\sqrt3}\times\frac{\sqrt3}{\sqrt3}&=&EX\\\boxed{\frac{16}3\sqrt3}&=&EX\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: e
Rumus Ninja:
Jarak titik E ke bidang BDG adalah $\boxed{\frac23a\sqrt3}$
$a=$ panjang sisi kubus
Jarak titik E ke bidang BDG adalah $\boxed{\frac23a\sqrt3}$
$a=$ panjang sisi kubus
Langkah Ninja:
Panjang sisi kubus $=8\;cm$Perhatikan gambar berikut:
$\begin{array}{rcl}EX&=&\frac23\left(EC\right)\\&=&\frac23\left(a\sqrt3\right)\\&=&\frac23\left(8\sqrt3\right)\\&=&\boxed{\frac{16}3\sqrt3}\end{array}$
Tags:
Geometri