Dimensi Tiga

📚 Apa yang dipelajari?

Dalam materi ini, kita akan mempelajari: Jarak Titik Ke Titik, Jarak Titik Ke Garis, dan Jarak Titik Ke Bidang.

Wise Quote:

"Barang siapa yang menginginkan kejernihan hatinya, hendaknya ia lebih mengutamakan Allah daripada menuruti berbagai keinginan hawa nafsunya." (Ibnu Qoyyim Rahimahullah)

1. Jarak Titik Ke Titik

Misalkan terdapat titik A dan titik B sebagai berikut:

Jarak titik A ke titik B merupakan panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut (ruas garis AB). Cara umum yang sering digunakan dalam mencari jarak titik ke titik adalah dengan menghubungkan posisi kedua titik tersebut, lalu membuat garis bantu sehingga terbentuk suatu bangun datar segitiga siku-siku. Selanjutnya, panjang garis yang dicari ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras sebagai berikut:

Jika diketahui dua titik misalkan titik A dan B dengan koordinat berturut-turut adalah $A\left(x_1,\;y_1\right)$ dan $B\left(x_2,\;y_2\right)$, jarak titik A ke titik B dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

$\left|AB\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}$

Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami jarak titik ke titik. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 1

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke titik F adalah...cm

a $6$

b $6\sqrt2$

c $6\sqrt3$

d $6\sqrt5$

e $6\sqrt6$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: b

Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut:

1. Hubungkan titik A dan titik F
2. Terbentuk garis AF (akan dicari)
2. Hubungkan garis AF ke titik B
3. Terbentuk $\bigtriangleup$ABF siku-siku di B
4. Hitung AF dengan Pythagoras
$\;\;\;\text{Sisi}\;\;\;\;\;=6\;cm,\;\text{maka:}$
$\;\;\;AB=6\;cm,\;BF=6\;cm$
$\;\;\;$sehingga:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}AF&=&\sqrt{\left(AB\right)^2+\left(BF\right)^2}\\&=&\sqrt{6^2+6^2}\\&=&\sqrt{36+36}\\&=&\sqrt{72}\\&=&\sqrt{36\times2}\\&=&\sqrt{36}\times\sqrt2\\&=&\boxed{6\sqrt2}\end{array}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: a

Rumus Ninja:
Panjang diagonal sisi kubus adalah $\boxed{a\sqrt2}$
$a=$ panjang sisi kubus

Langkah Ninja:

Panjang sisi kubus $=6\;cm$
Jarak titik A ke titik F adalah panjang ruas garis AF
Ruas garis AF adalah diagonal sisi kubus, sehingga:
$\begin{array}{rcl}AF&=&a\sqrt2\\&=&\boxed{6\sqrt2}\end{array}$

💡

Contoh 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke titik E adalah...cm

a $4$

b $4\sqrt2$

c $4\sqrt3$

d $4\sqrt5$

e $4\sqrt6$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: c

Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut:

1. Hubungkan titik C dan titik E
2. Terbentuk garis CE (akan dicari)
3. Hubungkan garis CE ke titik A
4. Terbentuk $\bigtriangleup$CAE siku-siku di A
5. Hitung CE dengan Pythagoras
$\;\;\;\text{Sisi}\;\;\;\;\;=4\;cm,\;\text{maka:}$
$\;\;\;AE=4\;cm,\;AC=4\sqrt2\;cm$
$\;\;\;$sehingga:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}CE&=&\sqrt{\left(AE\right)^2+\left(AC\right)^2}\\&=&\sqrt{4^2+\left(4\sqrt2\right)^2}\\&=&\sqrt{16+\left(16.2\right)}\\&=&\sqrt{16+32}\\&=&\sqrt{48}\\&=&\sqrt{16\times3}\\&=&\sqrt{16}\times\sqrt3\\&=&\boxed{4\sqrt3}\end{array}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: c

Rumus Ninja:
Panjang diagonal ruang kubus adalah $\boxed{a\sqrt3}$
$a=$ panjang sisi kubus

Langkah Ninja:

Panjang sisi kubus $=4\;cm$
Jarak titik C ke titik E adalah panjang ruas garis CE
Ruas garis CE adalah diagonal ruang kubus, sehingga:
$\begin{array}{rcl}CE&=&a\sqrt3\\&=&\boxed{4\sqrt3}\end{array}$

💡

Contoh 3

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Terdapat titik P di tengah-tengah AD, maka jarak titik H ke titik P adalah...cm

a $4$

b $4\sqrt2$

c $4\sqrt3$

d $4\sqrt5$

e $4\sqrt6$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: d

Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut:

1. Hubungkan titik H dan titik P
2. Terbentuk garis HP (akan dicari)
3. Hubungkan garis HP ke titik D
4. Terbentuk $\bigtriangleup$HDP siku-siku di D
5. Hitung HP dengan Pythagoras
$\;\;\;\text{Sisi}\;\;\;\;\;=8\;cm,\;\text{maka:}$
$\;\;\;HD=8\;cm,\;DP=4\;cm$
$\;\;\;$sehingga:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}HP&=&\sqrt{\left(HD\right)^2+\left(DP\right)^2}\\&=&\sqrt{8^2+4^2}\\&=&\sqrt{64+16}\\&=&\sqrt{80}\\&=&\sqrt{16\times5}\\&=&\sqrt{16}\times\sqrt5\\&=&\boxed{4\sqrt5}\end{array}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: d

Rumus Ninja:
Jarak titik H ke pertengahan AB adalah $\boxed{\frac a2\sqrt5}$
$a=$ panjang sisi kubus

Langkah Ninja:

Panjang sisi kubus $=8\;cm$
Titik P terletak di pertengahan AD
Jarak titik H ke titik P adalah panjang ruas garis HP, sehingga:
$\begin{array}{rcl}HP&=&\frac a2\sqrt5\\&=&\frac82\sqrt5\\&=&\boxed{4\sqrt5}\end{array}$

Catatan:
Panjang ruas garis lain yang bisa dihitung menggunakan rumus $\boxed{\frac a2\sqrt5}$ adalah:
Jarak H ke pertengahan DC
Jarak H ke pertengahan FG
Jarak E ke pertengahan AB
dan lain-lain

💡

Contoh 4

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik G ke titik Q jika Q terletak di tengah AB adalah...cm

a $\sqrt{18}$

b $\sqrt{48}$

c $\sqrt{32}$

d $\sqrt{80}$

e $\sqrt{81}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: e

Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut:

1. Hubungkan titik G dan titik Q
2. Terbentuk garis GQ (akan dicari)
3. Hubungkan garis GQ ke titik B
4. Terbentuk $\bigtriangleup$GBQ siku-siku di B
5. Hitung GQ dengan Pythagoras
$\;\;\;\text{Sisi}\;\;\;\;\;=6\;cm,\;\text{maka:}$
$\;\;\;BQ=3\;cm,\;BG=6\sqrt2\;cm$
$\;\;\;$sehingga:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}GQ&=&\sqrt{\left(BG\right)^2+\left(BQ\right)^2}\\&=&\sqrt{\left(6\sqrt2\right)^2+3^2}\\&=&\sqrt{\left(36.2\right)+9}\\&=&\sqrt{72+9}\\&=&\boxed{\sqrt{81}}\end{array}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: e

Rumus Ninja:
Jarak titik G ke pertengahan AB adalah $\boxed{\frac32a}$
$a=$ panjang sisi kubus

Langkah Ninja:

Panjang sisi kubus $=6\;cm$
Titik Q terletak di pertengahan AB
Jarak titik G ke titik Q adalah panjang ruas garis GQ, sehingga:
$\begin{array}{rcl}GQ&=&\frac32a\\&=&\frac32\left(6\right)\\&=&\frac{18}2\\&=&9\\&=&\boxed{\sqrt{81}}\end{array}$

Catatan:
Panjang ruas garis lain yang bisa dihitung menggunakan rumus $\boxed{\frac32a}$ adalah:
Jarak F ke pertengahan AD
Jarak H ke pertengahan AB
Jarak E ke pertengahan BC
dan lain-lain

💡

Contoh 5

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jarak titik A ke titik perpotongan diagonal pada bidang EFGH adalah...cm

a $5\sqrt2$

b $5\sqrt3$

c $5\sqrt6$

d $6\sqrt3$

e $6\sqrt5$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: c

Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut:

1. Hubungkan titik A dan titik R
2. Terbentuk garis AR (akan dicari)
3. Hubungkan garis AR ke titik E
4. Terbentuk $\bigtriangleup$AER siku-siku di E
5. Hitung AR dengan Pythagoras
$\;\;\;\text{Sisi}\;\;\;\;\;=10\;cm,\;\text{maka:}$
$\;\;\;AE=10\;cm,\;ER=5\sqrt2\;cm$
$\;\;\;$sehingga:
$\;\;\;\begin{array}{rcl}AR&=&\sqrt{\left(AE\right)^2+\left(ER\right)^2}\\&=&\sqrt{10^2+\left(5\sqrt2\right)^2}\\&=&\sqrt{100+\left(25.2\right)}\\&=&\sqrt{100+50}\\&=&\sqrt{150}\\&=&\sqrt{25\times6}\\&=&\sqrt{25}\times\sqrt6\\&=&\boxed{5\sqrt6}\end{array}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: c

Rumus Ninja:
Jarak titik A ke titik perpotongan diagonal pada bidang EFGH adalah $\boxed{\frac a2\sqrt6}$
$a=$ panjang sisi kubus

Langkah Ninja:

Panjang sisi kubus $=10\;cm$
Titik R terletak di perpotongan diagonal pada bidang EFGH
Jarak titik A ke titik R adalah panjang ruas garis AR, sehingga:
$\begin{array}{rcl}AR&=&\frac a2\sqrt6\\&=&\frac{10}2\sqrt6\\&=&\boxed{5\sqrt6}\end{array}$

Catatan:
Panjang ruas garis lain yang bisa dihitung menggunakan rumus $\boxed{\frac a2\sqrt6}$ adalah:
Jarak B ke pertengahan EFGH
Jarak C ke pertengahan EFGH
Jarak H ke pertengahan ABCD
dan lain-lain

2. Jarak Titik Ke Garis

Jarak titik ke garis didefinisikan sebagai ruas garis tegak lurus yang menghubungkan garis dengan titik tersebut. Perhatikan gambar berikut:

Jarak titik A ke garis k adalah ruas garis AA’, yaitu ruas garis tegak lurus yang menghubungkan garis k dengan titik A.

Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami jarak titik ke garis. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 6

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm. Jika titik T terletak pada pertengahan garis HF, maka jarak titik A ke garis CT adalah...cm

a $5\sqrt3$

b $6\sqrt2$

c $6\sqrt3$

d $6\sqrt6$

e $7\sqrt3$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: c

Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut:

1. Hubungkan titik A ke titik T dan C
2. Terbentuk $\bigtriangleup$ATC sama kaki
3. Tarik garis dari titik A dan $\perp$ TC
4. Terbentuk garis AX (akan dicari)
Perhatikan gambar berikut:

4. Buat garis bantu TO (TO$\perp$AC)
5. Hitung AX dengan perbandingan luas segitiga

$\;\;\;\begin{array}{rcl}\text{luas segitiga ATC}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&=&\text{luas segitiga ATC}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\frac12\;\text{alas}\;\;\;\;\;\;\times\;\text{tinggi}\;\;\;\;\;\;&=&\frac12\;\text{alas}\;\;\;\;\;\;\times\;\text{tinggi}\\\frac12AC.TO&=&\frac12CT.AX\\\frac12\left(9\sqrt2\right).9&=&\frac12\left(\frac92\sqrt6\right).AX\Rightarrow\text{dikali}\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\2\left(9\sqrt2\right)9&=&9\sqrt6AX\Rightarrow\text{dibagi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;9\\\left(2\right)\left(9\sqrt2\right)&=&\sqrt6AX\Rightarrow\text{dibagi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sqrt2\\\left(2\right)\left(9\right)&=&\sqrt3AX\\18&=&\sqrt3AX\\\frac{18}{\sqrt3}&=&AX\\\frac{18}{\sqrt3}\times\frac{\sqrt3}{\sqrt3}&=&AX\\\frac{18\sqrt3}3&=&AX\\\boxed{6\sqrt3}&=&AX\end{array}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: c

Rumus Ninja:
Jarak titik A ke garis TC adalah $\boxed{\frac23a\sqrt3}$
$a=$ panjang sisi kubus

Langkah Ninja:

Panjang sisi kubus $=9\;cm$
Perhatikan gambar berikut:

Jarak titik A ke garis TC adalah panjang ruas garis AX, sehingga:
$\begin{array}{rcl}AX&=&\frac23\left(AG\right)\\&=&\frac23\left(a\sqrt3\right)\\&=&\frac23\left(9\sqrt3\right)\\&=&\frac{18}3\sqrt3\\&=&\boxed{6\sqrt3}\end{array}$

3. Jarak Titik Ke Bidang

Jarak titik ke bidang pada bangun dimensi tiga didefinisikan sebagai ruas garis terpendek tegak lurus bidang yang menghubungkan titik dengan bidang tersebut. Perhatikan gambar berikut:

Jarak titik P ke bidang persegi adalah ruas garis PA'.

Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami jarak titik ke bidang. Semoga bermanfaat!

💡

Contoh 7

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang BGD adalah...cm

a $\frac43\sqrt2$

b $\frac43\sqrt3$

c $\frac83\sqrt2$

d $\frac83\sqrt3$

e $\frac{16}3\sqrt3$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: e

Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut:

1. Buat bidang dari E $\perp$ bidang BDG
2. Terbentuk bidang EGCA
3. Tentukan garis potong bidang BDG dan EGCA
4. Terbentuk garis potong GO
5. Jarak titik E ke bidang BDG $=$ jarak titik E ke garis GO
6. Terbentuk $\bigtriangleup$EGO sama kaki
7. Tarik garis dari titik E $\perp$ GO
8. Terbentuk garis EX (akan dicari)
Perhatikan gambar berikut:

4. Buat garis bantu TO (TO$\perp$EG)
5. Hitung EX dengan perbandingan luas segitiga, sehingga:

$\;\;\;\begin{array}{rcl}\text{luas segitiga EGO}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&=&\text{luas segitiga EGO}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\frac12\;\text{alas}\;\;\;\;\;\;\times\;\text{tinggi}\;\;\;\;\;\;&=&\frac12\;\text{alas}\;\;\;\;\;\;\times\;\text{tinggi}\\\frac12EG.TO&=&\frac12GO.EX\\\frac12\left(8\sqrt2\right).8&=&\frac12\left(\frac82\sqrt6\right).EX\Rightarrow\text{dikali}\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\2\left(8\sqrt2\right)8&=&8\sqrt6EX\Rightarrow\text{dibagi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;8\\\left(2\right)\left(8\sqrt2\right)&=&\sqrt6EX\Rightarrow\text{dibagi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sqrt2\\\left(2\right)\left(8\right)&=&\sqrt3EX\\16&=&\sqrt3EX\\\frac{16}{\sqrt3}&=&EX\\\frac{16}{\sqrt3}\times\frac{\sqrt3}{\sqrt3}&=&EX\\\boxed{\frac{16}3\sqrt3}&=&EX\end{array}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: e

Rumus Ninja:
Jarak titik E ke bidang BDG adalah $\boxed{\frac23a\sqrt3}$
$a=$ panjang sisi kubus

Langkah Ninja:

Panjang sisi kubus $=8\;cm$
Perhatikan gambar berikut:

Jarak titik E ke bidang BDG sama dengan jarak titik E ke garis GO yaitu panjang ruas garis EX, sehingga:
$\begin{array}{rcl}EX&=&\frac23\left(EC\right)\\&=&\frac23\left(a\sqrt3\right)\\&=&\frac23\left(8\sqrt3\right)\\&=&\boxed{\frac{16}3\sqrt3}\end{array}$

Tags: Geometri