1. Definisi Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi berbentuk persegipanjang yang disusun menurut baris (bilangan yang tersusun mendatar atau horizontal) dan kolom (bilangan yang tersusun tegak atau vertikal). Matriks dinotasikan dengan menggunakan huruf besar (kapital). Perhatikan contoh berikut.
\(A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}\)
Pada matriks A di atas, matriks teridiri dari 3 baris, yaitu:
\(\bullet\) Baris 1, beranggotakan: \(a, b, c\)
\(\bullet\) Baris 2, beranggotakan: \(d, e, f\)
\(\bullet\) Baris 3, beranggotakan: \(g, h, i\)
selain itu matriks A di atas juga terdiri dari 3 kolom, yaitu:
\(\bullet\) Kolom 1, beranggotakan: \(a, d, g\)
\(\bullet\) Kolom 2, beranggotakan: \(b, e, h\)
\(\bullet\) Kolom 3, beranggotakan: \(c, f, i\)
Unsur baris dan kolom menentukan letak suatu elemen pada sebuah matriks. Pada matriks A di atas, unsur matriks yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan \(a_{ij}\). Sebagai contoh, elemen \(a_{23}=f\), \(a_{13}=c\), dan seterusnya.
Diberikan matriks $A=\begin{bmatrix}2&1&3\\4&2&0\\5&6&1\end{bmatrix}$ sebagai berikut. Tentukan!
a. \(a_{21}\)
b. \(a_{32}\)
c. \(a_{22}+a_{23}-a_{12}\)
Ingat!!!
\(a_{ij}=\) anggota matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j
maka:
a. \(a_{21}=\boxed{4}\)
b. \(a_{32}=\boxed{6}\)
c. \(a_{22}+a_{23}-a_{12}=2+0-1=\boxed{1}\)
2. Ukuran atau Ordo suatu Matriks
Ukuran atau ordo suatu matriks adalah ukuran yang menunjukkan banyak baris dan banyak kolom dari suatu matriks. Ukuran atau ordo suatu matriks dinotasikan dengan \(A_{i\times j}\). Perhatikan contoh berikut.
\(\begin{bmatrix}1&0\\2&4\\3&3\end{bmatrix}\) memiliki ordo \(3\times 2\)
\(\begin{bmatrix}3&-1\\2&0\end{bmatrix}\) memiliki ordo \(2\times 2\)
3. Transpos Matriks
Transpos suatu matriks adalah operasi mengubah susunan baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Baris ke-i diubah menjadi kolom ke-i atau kolom ke-j diubah menjadi baris ke-j. Notasi dari transpos matriks A dituliskan \(A^T\) atau terkadang \(A^t\). Perhatikan contoh berikut.
\(A=\begin{bmatrix}1&0&3\\6&2&5\end{bmatrix}\rightarrow A^T=\begin{bmatrix}1&6\\0&2\\3&5\end{bmatrix}\)
Bisa dilihat bahwa elemen baris ke-1 pada matriks A yaitu 1, 0, 3 dituliskan pada kolom ke-1 matriks A transpos, kemudian elemen baris ke-2 matriks A yaitu 6, 2, 5 dituliskan pada kolom ke-2 matriks A transpos. Transpos suatu matriks bisa mengubah ordo suatu matriks. Pada matriks di atas matriks A berorodo \(2\times 3\) (\(A_{2\times 3}\)) sedangkan matriks A transpos berorodo \(3\times 2\) (\(A^T_{3\times 2}\))
4. Kesamaan Dua Matriks
Suatu matriks dikatakan sama apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama dan setiap elemen seletak pada kedua matriks itu sama.
Diketahui matriks \(A=\begin{bmatrix}3p&4q\\-2&r+1\end{bmatrix}\) dan \(B=\begin{bmatrix}9&2\\-2&3r\end{bmatrix}\). Jika \(A=B\) maka tentukan!
a. \(p\)
b. \(r\)
c. \(p+q+r\)
Diketahui:
\(\begin{array}{rcl}A&=&B\\\begin{bmatrix}3p&4q\\-2&r+1\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}9&2\\-2&3r\end{bmatrix}\end{array}\)
Maka, diperoleh:
\(\begin{array}{rcl}\text{a. }\;\;\;\;3p&=&9\\p&=&\frac{9}{3}\\p&=&\boxed{3}\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}\text{b. }\;\;\;\;r+1&=&3r\\1&=&3r-r\\1&=&2r\\\boxed{\frac{1}{2}}&=&r\end{array}\)
c. Cari dulu nilai \(q\)
\(\begin{array}{rcl}4q&=&2\\q&=&\frac{2}{4}\\q&=&\boxed{\frac{1}{2}}\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}\text{Jadi, nilai }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p+q+r&=&3+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\&=&3+1\\&=&\boxed{4}\end{array}\)
Diketahui persamaan matriks \(A=B^T\), dengan \(A=\begin{bmatrix}a&4\\2b&3c\end{bmatrix}\) dan \(B=\begin{bmatrix}4c-6b&4a+2\\2a&2b+14\end{bmatrix}\). Nilai \(a+b+c=\) . . . .
a. \(6\)
b. \(10\)
c. \(13\)
d. \(15\)
e. \(16\)
Diketahui:
\(\begin{array}{rcl}A&=&B^T\\\begin{bmatrix}a&4\\2b&3c\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}4c-6b&2a\\4a+2&2b+14\end{bmatrix}\end{array}\)
Maka, diperoleh:
\(\begin{array}{rcl}\bullet\;4&=&2a\\\frac{4}{2}&=&a\\\boxed{2}&=&a\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}\bullet\;2b&=&4a+2\\2b&=&4(2)+2\\2b&=&8+2\\2b&=&10\\b&=&\frac{10}{2}\\b&=&\boxed{5}\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}\bullet\;3c&=&2b+14\\3c&=&2(5)+14\\3c&=&10+14\\3c&=&24\\c&=&\frac{24}{3}\\c&=&\boxed{8}\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}\text{$\therefore$ Jadi, nilai }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a+b+c&=&2+5+8\\&=&\boxed{15}\end{array}\)
Diketahui matriks \(A=\begin{bmatrix}x+y&x\\y&x-y\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}x\\-2y&3\end{bmatrix}\), dan \(A^T=B\). Nilai \(x+2y\) adalah. . . .
a. \(-2\)
b. \(-1\)
c. \(0\)
d. \(1\)
e. \(2\)
Diketahui:
\(\begin{array}{rcl}A^T&=&B\\\begin{bmatrix}x+y&y\\x&x-y\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}x\\-2y&3\end{bmatrix}\end{array}\)
Maka, diperoleh:
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;x+y&=&1\rightarrow\text{(persamaan 1)}\end{array}\)
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;x-y&=&3\rightarrow\text{(persamaan 2)}\end{array}\)
Eliminasi \(x\) pada persamaan 1 dan persamaan 2:
\(\frac{\begin{array}{rcl}x+y&=&1\\x-y&=&3\end{array}}{\begin{array}{rcl}\;\;\;\;2x&=&4\\x&=&\frac{4}{2}\\x&=&\boxed{2}\end{array}}+\)
Substitusi \(x=\boxed{2}\) ke persamaan 1, sehingga diperoleh nilai \(y\).
\(\begin{array}{rcl}x+y&=&1\\2+y&=&1\\y&=&1-2\\y&=&\boxed{-1}\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}\text{$\therefore$ Jadi, nilai }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x+2y&=&2+2(-1)\\&=&2+(-2)\\&=&2-2\\&=&\boxed{0}\end{array}\)
5. Jenis-Jenis Matriks
a. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom saja. Ordo matriks ini biasa ditulis dengan \(m\times 1\), di mana \(m\) adalah banyaknya baris pada matriks tersebut. Perhatikan contoh matriks berikut.
\(K=\begin{bmatrix}2\\-1\\4\end{bmatrix}\)
Matriks \(K\) memiliki ordo \(3\times 1\), sehingga dapat dikatakan \(K\) adalah matriks kolom.
b. Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris saja. Ordo matriks ini biasa ditulis dengan \(1\times n\), di mana \(n\) adalah banyaknya kolom pada matriks tersebut. Perhatikan contoh matriks berikut.
\(B=\begin{bmatrix}2&1&0&3\end{bmatrix}\)
Matriks \(B\) memiliki ordo \(1\times 4\), sehingga dapat dikatakan \(B\) adalah matriks baris.
c. Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Ordo matriks ini biasa ditulis dengan \(n\times n\), di mana \(n\) adalah banyaknya baris dan kolom pada matriks tersebut. Perhatikan contoh matriks berikut.
\(P=\begin{bmatrix}0&-1\\3&2\end{bmatrix}\)
Matriks \(P\) memiliki ordo \(2\times 2\), sehingga dapat dikatakan \(P\) adalah matriks persegi.
d. Matriks Persegipanjang
Matriks persegipanjang adalah matriks yang jumlah barisnya tidak sama dengan jumlah kolomnya. Ordo matriks ini biasa ditulis dengan \(m\times n\), di mana \(m\) adalah banyaknya baris dan \(n\) adalah banyaknya kolom pada matriks tersebut. Perhatikan contoh matriks berikut.
\(R=\begin{bmatrix}-1&3&2\\4&0&2\end{bmatrix}\)
Matriks \(R\) memiliki ordo \(2\times 3\), sehingga dapat dikatakan \(R\) adalah matriks persegipanjang. Matriks kolom maupun matriks baris disebut juga sebagai matriks persegipanjang.
e. Matriks Segitiga
1). Matriks Segitiga Atas
Sebuah matriks persegi dikatakan matriks segitiga atas jika elemen-elemen matriks di bawah diagonal utamanya bernilai \(0\). Berikut ini adalah contoh matriks segitiga atas.
\(S=\begin{bmatrix}2&0&1\\0&-2&3\\0&0&1\end{bmatrix}\)
2). Matriks Segitiga Bawah
Sebuah matriks persegi dikatakan matriks segitiga bawah jika elemen-elemen matriks di atas diagonal utamanya bernilai \(0\). Berikut ini adalah contoh matriks segitiga bawah.
\(S=\begin{bmatrix}2&0&0\\2&-2&0\\0&3&1\end{bmatrix}\)
f. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya bernilai nol kecuali elemen diagonal utama. Perhatikan contoh matriks berikut.
\(D=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&4\end{bmatrix}\)
g. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang setiap elemen diagonal utamanya bernilai \(1\). Biasanya, matriks identitas ditulis dengan \(I\).
\(I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)
h. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai \(0\). Biasanya, matriks nol ditulis dengan \(O\).
\(O=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\)
i. Matriks Skalar
Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai sama, sedangkan elemen-elemen lainnya bernilai nol. Perhatikan contoh matriks berikut.
\(A=\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{bmatrix}\)
6. Operasi Antarmatriks
Operasi antarmatriks meliputi operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian angka dengan matriks, dan perkalian matriks dengan matriks.
a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau ordo yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.
\(\boxed{A_{m\times n}\pm B_{m\times n}=C_{m\times n}}\)
Diketahui \(A=\begin{bmatrix}4&8\\6&-2\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}2&0\\-1&3\end{bmatrix}\) dan \(C=\begin{bmatrix}0&-2\\4&1\end{bmatrix}\). Tentukan!
a. \(A+B\)
b. \(B-C\)
c. \(A+C-B\)
Diketahui:
\(\begin{array}{rcl}\text{a. }\;\;\;A+B&=&\begin{bmatrix}4&8\\6&-2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2&0\\-1&3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}4+2&8+0\\6+(-1)&-2+3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6&8\\5&1\end{bmatrix}\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}\text{b. }\;\;\;B-C&=&\begin{bmatrix}2&0\\-1&3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&-2\\4&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2-0&0-(-2)\\-1-4&3-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&2\\-5&2\end{bmatrix}\end{array}\)
Diketahui matriks \(A=\begin{bmatrix}1&a+b\\b&c\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}a-1&0\\-c&d\end{bmatrix},\) dan \(C=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.\) Jika \(A+B^T=C\), maka nilai \(d=\) . . . .
a. \(-1\)
b. \(-2\)
c. \(0\)
d. \(1\)
e. \(2\)
Diketahui:
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;a&=&\boxed{1}\rightarrow\text{(persamaan 1)}\end{array}\)
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;b&=&\boxed{0}\rightarrow\text{(persamaan 2)}\end{array}\)
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;a+b-c&=&0\rightarrow\text{(persamaan 3)}\end{array}\)
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;c+d&=&1\rightarrow\text{(persamaan 4)}\end{array}\)
Substitusi \(a=\boxed{1}\) dan \(b=\boxed{0}\) ke persamaan 3, sehingga diperoleh nilai \(c\).
\(\begin{array}{rcl}a+b-c&=&0\\1+0-c&=&0\\1-c&=&0\\1-0&=&c\\\boxed{1}&=&c\end{array}\)
Substitusi \(c=\boxed{1}\) ke persamaan 4, sehingga diperoleh nilai \(d\).
\(\begin{array}{rcl}c+d&=&1\\1+d&=&1\\d&=&1-1\\d&=&\boxed{0}\end{array}\)
\(\therefore\) Jadi, nilai \(d=\boxed{0}\)
Diketahui matriks \(A=\begin{bmatrix}3&y\\5&-1\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}x&5\\-3&6\end{bmatrix},\) dan \(C=\begin{bmatrix}-3&-1\\y&9\end{bmatrix}.\) Jika \(A+B-C=\begin{bmatrix}8&5x\\-x&-4\end{bmatrix}\), maka nilai \(x+2xy+y=\) . . . .
a. \(8\)
b. \(12\)
c. \(18\)
d. \(20\)
e. \(22\)
Diketahui:
Maka, diperoleh:
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;x+6&=&8\rightarrow\text{(persamaan 1)}\end{array}\)
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;y+6&=&5x\rightarrow\text{(persamaan 2)}\end{array}\)
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;2-y&=&-x\rightarrow\text{(persamaan 3)}\end{array}\)
Jabarkan persamaan 1, sehingga diperoleh nilai \(x\).
\(\begin{array}{rcl}x+6&=&8\\x&=&8-6\\x&=&\boxed{2}\end{array}\)
Substitusi \(x=\boxed{2}\) ke persamaan 2, sehingga diperoleh nilai \(y\).
\(\begin{array}{rcl}y+6&=&5x\\y+6&=&5(2)\\y+6&=&10\\y&=&10-6\\y&=&\boxed{4}\end{array}\)
Semua jenis matriks bisa dikalikan dengan bilangan (skalar) berapapun. Suatu matriks yang dikalikan dengan bilangan (skalar) tertentu berarti semua elemen pada matriks dikalikan dengan bilangan tersebut. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
\(\boxed{k\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka&kb\\kc&kd\end{bmatrix}}\)
Diketahui \(A=\begin{bmatrix}3&1\\0&-1\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}2&-2\\4&1\end{bmatrix},\) dan \(C=\begin{bmatrix}6&3\\-1&-3\end{bmatrix}\). Tentukan!
a. \(2A\)
b. \(-3B\)
c. \(\frac{1}{3}C\)
Diketahui:
\(\begin{array}{rcl}\text{a. }\;\;\;2A&=&2\begin{bmatrix}3&1\\0&-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2\times 3&2\times 1\\2\times 0&2\times (-1)\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6&2\\0&-2\end{bmatrix}\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}\text{b. }\;\;\;-3B&=&-3\begin{bmatrix}2&-2\\4&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-3\times 2&-3\times (-2)\\-3\times 4&-3\times 1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-6&6\\-12&-3\end{bmatrix}\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}\text{c. }\;\;\;\frac{1}{3}C&=&\frac{1}{3}\begin{bmatrix}6&3\\-1&-3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}\frac{1}{3}\times 6&\frac{1}{3}\times 3\\\frac{1}{3}\times (-1)&\frac{1}{3}\times (-3)\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&1\\-\frac{1}{3}&-1\end{bmatrix}\end{array}\)
Diketahui matriks \(A=\begin{bmatrix}a&4\\2b&3c\end{bmatrix}\) dan matriks \(B=\begin{bmatrix}2c-3b&2a+1\\a&b+7\end{bmatrix}\). Persamaan \(A=2B^T\) dipenuhi jika nilai \(c=\) . . . .
a. \(2\)
b. \(3\)
c. \(5\)
d. \(8\)
e. \(10\)
Diketahui:
\(\begin{array}{rcl}A&=&2B^T\\\begin{bmatrix}a&4\\2b&3c\end{bmatrix}&=&2\begin{bmatrix}2c-3b&a\\2a+1&b+7\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a&4\\2b&3c\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}4c-6b&2a\\4a+2&2b+14\end{bmatrix}\end{array}\)
Maka, diperoleh:
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;4&=&2a\rightarrow\text{(persamaan 1)}\end{array}\)
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;2b&=&4a+2\rightarrow\text{(persamaan 2)}\end{array}\)
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;3c&=&2b+14\rightarrow\text{(persamaan 3)}\end{array}\)
Jabarkan persamaan 1, sehingga diperoleh nilai \(a\).
\(\begin{array}{rcl}4&=&2a\\\frac{4}{2}&=&a\\\boxed{2}&=&a\end{array}\)
Substistusikan \(a=\boxed{2}\) ke persamaan 2, sehingga diperoleh nilai \(b\).
\(\begin{array}{rcl}2b&=&4a+2\\2b&=&4(2)+2\\2b&=&8+2\\2b&=&10\\b&=&\frac{10}{2}\\b&=&\boxed{5}\end{array}\)
Substitusi \(b=\boxed{5}\) ke persamaan 3, sehingga diperoleh nilai \(c\).
\(\begin{array}{rcl}3c&=&2b+14\\3c&=&2(5)+14\\3c&=&10+14\\3c&=&24\\c&=&\frac{24}{3}\\c&=&\boxed{8}\end{array}\)
\(\therefore\) Jadi, nilai \(c=\boxed{8}\)
Dua buah matriks bisa dikalikan dengan syarat jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
\(\boxed{A_{m\times p}\times B_{p\times n}=C_{m\times n}}\)
Diketahui $A=\begin{bmatrix}2&1\\3&0\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}2&1&0\\3&0&1\end{bmatrix}$, dan $C=\begin{bmatrix}4&1\\2&1\\0&3\end{bmatrix}$. Tentukan!
a. \(A\times B\)
b. \(A\times C\)
c. \(B\times C\)
Diketahui:
Diketahui $A=\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}-1&3\\2&-5\end{bmatrix}$, dan persamaan $AB=\begin{bmatrix}2a&3b\\-2&c\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b&2c\\4&-4\end{bmatrix}$. Nilai $a$ yang memenuhi adalah . . . .
a. \(-3\)
b. \(-2\)
c. \(1\)
d. \(3\)
e. \(6\)
Diketahui:
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;-3&=&c-4\rightarrow\text{(persamaan 1)}\end{array}\)
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;-7&=&3b+2c\rightarrow\text{(persamaan 2)}\end{array}\)
\(\bullet\begin{array}{lcl}\;3&=&2a+b\rightarrow\text{(persamaan 3)}\end{array}\)
Jabarkan persamaan 1, sehingga diperoleh nilai \(c\).
\(\begin{array}{rcl}-3&=&c-4\\-3+4&=&c\\\boxed1&=&c\end{array}\)
Substistusikan $c=\boxed1$ ke persamaan 2, sehingga diperoleh nilai \(b\).
\(\begin{array}{rcl}-7&=&3b+2c\\-7&=&3b+2(1)\\-7&=&3b+2\\-7-2&=&3b\\-9&=&3b\\\frac{-9}{3}&=&b\\\boxed{-3}&=&b\end{array}\)
Substistusikan $b=\boxed{-3}$ ke persamaan 3, sehingga diperoleh nilai \(a\).
\(\begin{array}{rcl}3&=&2a+b\\3&=&2a+(-3)\\3&=&2a-3\\3+3&=&2a\\6&=&2a\\\frac62&=&a\\\boxed3&=&a\end{array}\)
$\therefore$ Jadi, nilai $a=\boxed3$
Demikian pembahasan mengenai matriks mulai definisi matriks, transpos, kesamaan dua matriks, jenis-jenis matriks, penjumlahan matriks, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks, dan menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan matriks. Semoga bermanfaat, ya!
0 Komentar