1. Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari sebuah bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari titik nol (0) pada garis bilangan. Karena jarak tidak mungkin negatif, nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai non-negatif (positif atau nol). Secara matematis, nilai mutlak dari suatu bilangan $x$ ditulis $|x|$, dan dapat didefinisikan sebagai berikut.
$\boxed{\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;x\geq0\\-x,\;x<0\end{array}\right.}$
Tentukan nilai dari nilai mutlak berikut.
$\text{a.}\left|3\right|$
$\text{b.}\left|-5\right|$
$\text{c.}\left|2x-1\right|$
Jawab:
$\text{a.}$ Karena $3\geq0$, maka $\left|3\right|=\boxed3$
$\text{b.}$ Karena $-5<0$, maka $\left|-5\right|=-(-5)=\boxed5$
$\text{c.}$ Gunakan definisi nilai mutlak: $\boxed{\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;x\geq0\\-x,\;x<0\end{array}\right.}$
$\begin{array}{rcl}\left|2x-1\right|&=&2x-1,\;2x-1\geq0\\&=&2x-1,\;2x\geq1\\&=&\boxed{2x-1},\;x\geq\frac12\end{array}$
$\begin{array}{rcl}\left|2x-1\right|&=&-(2x-1),\;2x-1<0\\&=&-2x+1,\;2x<1\\&=&\boxed{-2x+1},\;x<\frac12\end{array}$
2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak yaitu sebagai berikut.
$1.\;\left|a\right|\geq0$
$2.\;\left|a\right|=0\leftrightarrow a=0$
$3.\;\left|ab\right|=\left|a\right|\left|b\right|$
$4.\;\left|\frac ab\right|=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|},\;b\neq0$
$5.\;\left|a\right|=\left|-a\right|$
$6.\;\left|a\pm b\right|=\left|b\pm a\right|$
$7.\;\left|a\right|=\sqrt{a^2}$
$8.\;\left|a\right|^2=a^2$
3. Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak Satu Variabel
Persamaan nilai mutlak satu variabel adalah persamaan linear satu variabel yang variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Penyelesaian persamaan nilai mutlak satu variabel dapat dilakukan dengan menggunakan definisi dan sifat-sifat nilai mutlak yang telah kamu pelajari sebelumnya.
Tentukan solusi dari persamaan $\left|2x\right|=4$ untuk $x\in\mathbb{R}$.
Jawab:
Gunakan definisi nilai mutlak: $\boxed{\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;x\geq0\\-x,\;x<0\end{array}\right.}$
$\left|2x\right|=\left\{\begin{array}{l}2x,\;2x\geq0\\2x,\;x\geq\frac02\\\boxed{2x},\;x\geq0\\\\-(2x),\;2x<0\\-2x,\;x<\frac0{-2}\\\boxed{-2x},\;x<0\end{array}\right.$
$\bullet$ Kasus 1: untuk $x\geq0$
$\left|2x\right|=4\left\{\begin{array}{rcl}2x&=&4\\x&=&\frac42\\x&=&\boxed2\;\text{(memenuhi syarat: $x\geq0$)}\end{array}\right.$
$\bullet$ Kasus 2: untuk $x<0$
$\left|2x\right|=4\left\{\begin{array}{rcl}-2x&=&4\\x&=&\frac4{-2}\\x&=&\boxed{-2}\;\text{(memenuhi syarat: $x<0$)}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed2$ atau $x =\boxed{-2}$.
$\boxed{\left|f(x)\right|=a}$ untuk $\;a>0$, maka solusinya: $\boxed{f(x)=\pm a}$
Langkah Ninja:
$\left|2x\right|=4\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}2x&=&4\\x&=&\frac42\\x&=&\boxed2\\&&\end{array}\\\text{atau}\\\\\begin{array}{rcl}2x&=&-4\\x&=&\frac{-4}2\\x&=&\boxed{-2}\end{array}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed2$ atau $x = \boxed{-2}$.
Tentukan solusi dari persamaan $\left|2x+1\right|=5$ untuk $x\in\mathbb{R}$.
Jawab:
Gunakan definisi nilai mutlak: $\boxed{\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;x\geq0\\-x,\;x<0\end{array}\right.}$
$\left|2x+1\right|=\left\{\begin{array}{l}2x+1,\;2x+1\geq0\\2x+1,\;2x\geq0-1\\2x+1,\;2x\geq-1\\\boxed{2x+1},\;x\geq-\frac12\\\\-(2x+1),\;2x+1<0\\-2x-1,\;2x<0-1\\-2x-1,\;2x<-1\\\boxed{-2x-1},\;x<-\frac12\\\end{array}\right.$
$\bullet$ Kasus 1: untuk $x\geq-\frac12$
$\left|2x+1\right|=5\left\{\begin{array}{rcl}2x+1&=&5\\2x&=&5-1\\2x&=&4\\x&=&\frac42\\x&=&\boxed2\;\text{(memenuhi syarat: $x\geq-\frac12$)}\end{array}\right.$
$\bullet$ Kasus 2: untuk $x<-\frac12$
$\left|2x+1\right|=5\left\{\begin{array}{rcl}-2x-1&=&5\\-2x&=&5+1\\-2x&=&6\\x&=&\frac6{-2}\\x&=&\boxed{-3}\;\text{(memenuhi syarat: $x<-\frac12$)}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed2$ atau $x = \boxed{-3}$.
$\boxed{\left|f(x)\right|=a}$ untuk $\;a>0$, maka solusinya: $\boxed{f(x)=\pm a}$
Langkah Ninja:
$\left|2x+1\right|=5\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}2x+1&=&5\\2x&=&5-1\\2x&=&4\\x&=&\frac42\\x&=&\boxed2\\&&\end{array}\\\text{atau}\\\\\begin{array}{rcl}2x+1&=&-5\\2x&=&-5-1\\2x&=&-6\\x&=&\frac{-6}2\\x&=&\boxed{-3}\end{array}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed2$ atau $x = \boxed{-3}$.
Tentukan solusi dari persamaan $\left|2x+1\right|=\left|x-3\right|$ untuk $x\in\mathbb{R}$.
Jawab:
Gunakan definisi nilai mutlak: $\boxed{\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;x\geq0\\-x,\;x<0\end{array}\right.}$
$\left|2x+1\right|=\left\{\begin{array}{l}2x+1,\;2x+1\geq0\\2x+1,\;2x\geq0-1\\2x+1,\;2x\geq-1\\\boxed{2x+1},\;x\geq-\frac12\\\\-(2x+1),\;2x+1<0\\-2x-1,\;2x<0-1\\-2x-1,\;2x<-1\\\boxed{-2x-1},\;x<-\frac12\\\end{array}\right.$
$\left|x-3\right|=\left\{\begin{array}{l}x-3,\;x-3\geq0\\x-3,\;x\geq0+3\\\boxed{x-3},\;x\geq3\\\\-(x-3),\;x-3<0\\-x+3,\;x<0+3\\\boxed{-x+3},\;x<3\end{array}\right.$
$\bullet$ Kasus 1: untuk $x<-\frac12$
$\left|2x+1\right|=\left|x-3\right|\left\{\begin{array}{rcl}-2x-1&=&-x+3\\-2x+x&=&3+1\\-x&=&4\\x&=&\frac4{-1}\\x&=&\boxed{-4}\;\text{(memenuhi syarat: $x<-\frac12$)}\end{array}\right.$
$\bullet$ Kasus 2: untuk $-\frac12\leq x<3$
$\left|2x+1\right|=\left|x-3\right|\left\{\begin{array}{rcl}2x+1&=&-x+3\\2x+x&=&3-1\\3x&=&2\\x&=&\boxed{\frac23}\;\text{(memenuhi syarat: $-\frac12\leq x<3$)}\end{array}\right.$
$\bullet$ Kasus 3: untuk $x\geq3$
$\left|2x+1\right|=\left|x-3\right|\left\{\begin{array}{rcl}2x+1&=&x-3\\2x-x&=&-3-1\\x&=&\boxed{-4}\;\text{(tidak memenuhi syarat: $x\geq3$)}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed{-4}$ atau $x = \boxed{\frac23}$.
$\boxed{\left|f(x)\right|=\left|g(x)\right|}$ , maka solusinya: $\boxed{f(x)=\pm g(x)}$
Langkah Ninja:
$\left|2x+1\right|=\left|x-3\right|\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}2x+1&=&x-3\\2x-x&=&-3-1\\x&=&\boxed{-4}\\&&\end{array}\\\text{atau}\\\\\begin{array}{rcl}2x+1&=&-(x-3)\\2x+1&=&-x+3\\2x+x&=&3-1\\3x&=&2\\x&=&\boxed{\frac23}\end{array}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed{-4}$ atau $x = \boxed{\frac23}$.
Demikian pembahasan mengenai nilai mutlak mulai definisi nilai mutlak, sifat-sifat nilai mutlak, dan persamaan nilai mutlak satu variabel dari kami. Semoga bermanfaat, ya!
0 Komentar