📚 Apa yang dipelajari?
Dalam materi ini, kita akan mempelajari: Bentuk Umum Persamaan Kuadrat, Mencari Akar Persamaan Kuadrat, Sifat Akar Persamaan Kuadrat, Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat, dan Menyusun Persamaan Kuadrat Baru.
Wise Quote:
"Engkau beribadah kepada Allah seakan-akan engkau melihat-Nya. Jika engkau tidak melihat-Nya, sesungguhnya dia pasti melihatmu." (HR Muslim).
1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat merupakan persamaan yang pangkat tertinggi variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel $x$ adalah sebagai berikut:
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami tentang bentuk umum persamaan kuadrat. Semoga bermanfaat!
$ax^2+bx+c=0$, dengan $a,\;b,\;c\in\mathbb{R}$ dan $a\neq0$
Dalam persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, $a$ adalah koefisien dari $x^2$, $b$ adalah koefisien dari $x$, dan $c$ adalah konstanta.Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami tentang bentuk umum persamaan kuadrat. Semoga bermanfaat!
Contoh 1
Tentukan nilai $a,\;b,$ dan $c$ dari masing-masing persamaan kuadrat berikut ini!
Pembahasan Lengkap
Jawaban:
Catatan:
Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ maka: $\boxed{a=\text{Koefisien }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2},\;$ $\boxed{b=\text{Koefisien }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x},\;$ $\boxed{c=\text{Konstanta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
Penyelesaian:Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ maka: $\boxed{a=\text{Koefisien }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2},\;$ $\boxed{b=\text{Koefisien }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x},\;$ $\boxed{c=\text{Konstanta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
a. $3x^2+6x-5=0$, maka:
$\;\;\;a=\boxed3,\;$ $b=\boxed6,\;$ dan $c=\boxed{-5}$
b. $x^2-6x=0$, maka:
$\;\;\;a=\boxed1,\;$ $b=\boxed{-6},\;$ dan $c=\boxed0$
c. $9x^2-10=0$, maka:
$\;\;\;a=\boxed9,\;$ $b=\boxed0,\;$ dan $c=\boxed{-10}$
Contoh 2
Ubahlah persamaan berikut menjadi bentuk umum persamaan kuadrat!
Pembahasan Lengkap
Jawaban:
Catatan:
Bentuk umum persamaan kuadrat $\boxed{ax^2+bx+c=0}$
Penyelesaian:Bentuk umum persamaan kuadrat $\boxed{ax^2+bx+c=0}$
a. $\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0$, maka:
$\begin{array}{rcl}\left(x+2\right)\left(x-3\right)&=&0\\x^2-3x+2x-6&=&0\\x^2-x-6&=&0\end{array}$
b. $2x\left(x-3\right)=5$, maka:
$\begin{array}{rcl}2x\left(x-3\right)&=&5\\2x^2-6x&=&5\\2x^2-6x-5&=&0\end{array}$
c. $\frac{3x-2}{x+1}=\frac{x-1}x$, maka:
$\begin{array}{rcl}\frac{3x-2}{x+1}&=&\frac{x-1}x\\\left(3x-2\right)\left(x\right)&=&\left(x+1\right)\left(x-1\right)\\3x^2-2x&=&x^2-x+x-1\\3x^2-2x&=&x^2-1\\3x^2-2x-x^2+1&=&0\\2x^2-2x+1&=&0\end{array}$
2. Mencari Akar Persamaan Kuadrat
Akar atau solusi persamaan kuadrat adalah nilai-nilai pengganti variabel yang memenuhi persamaan kuadrat. Akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan beberapa metode, yaitu:
1. Faktorisasi
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
3. Rumus kuadrat (rumus ABC)
1. Faktorisasi
Bentuk faktor dari suatu persamaan merupakan bentuk persamaan yang dinyatakan dalam operasi perkalian. Faktorisasi dari suatu persamaan merupakan proses mengubah suatu persamaan menjadi perkalian faktor-faktornya. Tujuan dari faktorisasi ini adalah untuk menentukan akar persamaan kuadrat dengan prinsip berikut:
Untuk $a=1$:
Persamaan berbentuk kuadrat sempurna adalah persamaan yang berbentuk $\left(x\pm a\right)^2=h$. Langkah-langkah mencari akar dengan metode ini adalah sebagai berikut:
Dari metode kuadrat sempurna, dapat dikembangkan sebuah rumus praktis yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus kuadratik atau rumus ABC dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. Faktorisasi
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
3. Rumus kuadrat (rumus ABC)
1. Faktorisasi
Bentuk faktor dari suatu persamaan merupakan bentuk persamaan yang dinyatakan dalam operasi perkalian. Faktorisasi dari suatu persamaan merupakan proses mengubah suatu persamaan menjadi perkalian faktor-faktornya. Tujuan dari faktorisasi ini adalah untuk menentukan akar persamaan kuadrat dengan prinsip berikut:
Jika $A$ dan $B$ dua bilangan real, maka $A.B=0$ jika dan hanya jika $A=0$ atau $B=0$
Perhatikan skema faktorisasi persamaan kuadrat berikut ini!Untuk $a=1$:
$\begin{array}{rcl}x^2+bx+c&=&0\left\{\begin{array}{l}pq=c\\p+q=b\end{array}\right.\\\left(x+p\right)\left(x+q\right)&=&0\left\{\begin{array}{l}x_1=-p\\x_2=-q\end{array}\right.\end{array}$
Untuk $a\neq1$:
$\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c&=&0\left\{\begin{array}{l}pq=ac\\p+q=b\end{array}\right.\\\frac{\left(ax+p\right)\left(ax+q\right)}a&=&0\left\{\begin{array}{l}x_1=-\frac pa\\x_2=-\frac qa\end{array}\right.\end{array}$
2. Melengkapkan kuadrat sempurnaPersamaan berbentuk kuadrat sempurna adalah persamaan yang berbentuk $\left(x\pm a\right)^2=h$. Langkah-langkah mencari akar dengan metode ini adalah sebagai berikut:
1. $x^2\pm bx+c=0$, jika koefisien $x^2$ belum 1 maka rubahlah terlebih dahulu menjadi 1
2. Pindahkan konstanta dari ruas kiri ke ruas kanan
$\;\;\;x^2\pm bx=-c$
3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left(\frac b2\right)^2$
$\;\;\;x^2\pm bx+\left(\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
4. Selesaikan persamaan dengan cara berikut
$\;\;\;\left(x\pm\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
3. Rumus kuadratik (rumus ABC)2. Pindahkan konstanta dari ruas kiri ke ruas kanan
$\;\;\;x^2\pm bx=-c$
3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left(\frac b2\right)^2$
$\;\;\;x^2\pm bx+\left(\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
4. Selesaikan persamaan dengan cara berikut
$\;\;\;\left(x\pm\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
Dari metode kuadrat sempurna, dapat dikembangkan sebuah rumus praktis yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus kuadratik atau rumus ABC dapat dinyatakan sebagai berikut:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$, dengan $D=b^2-4ac$ (Diskriminan)
Berikut ini adalah beberapa soal latihan untuk lebih memahami bagaimana menentukan akar persamaan kuadrat. Semoga bermanfaat!
Contoh 3
Himpunan penyelesaian dari persamaan $x^2-3x+2=0$ untuk $x\in\mathbb{R}$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: c
Catatan:
Pemfaktoran untuk $a=1$
$\begin{array}{rcl}x^2+bx+c&=&0\left\{\begin{array}{l}pq=c\\p+q=b\end{array}\right.\\\left(x+p\right)\left(x+q\right)&=&0\left\{\begin{array}{l}x_1=-p\\x_2=-q\end{array}\right.\end{array}$
Penyelesaian:
Pemfaktoran untuk $a=1$
$\begin{array}{rcl}x^2+bx+c&=&0\left\{\begin{array}{l}pq=c\\p+q=b\end{array}\right.\\\left(x+p\right)\left(x+q\right)&=&0\left\{\begin{array}{l}x_1=-p\\x_2=-q\end{array}\right.\end{array}$
$x^2-3x+2=0,\;\text{syarat: }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{\begin{array}{l}pq=2\\p+q=-3\end{array}\right.$
Dua bilangan yang memenuhi syarat adalah $-2$ dan $-1$, sehingga:$\begin{array}{rcl}x^2-3x+2&=&0\\\left(x-2\right)\left(x-1\right)&=&0\end{array}$
Maka:
$\begin{array}{rcl}x=-\left(-2\right)&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=-\left(-1\right)\\x=\boxed2&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=\boxed1\end{array}$
Contoh 4
Himpunan penyelesaian dari persamaan $2x^2+3x-9=0$ untuk $x\in\mathbb{R}$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: d
Catatan:
Pemfaktoran untuk $a\neq1$
$\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c&=&0\left\{\begin{array}{l}pq=ac\\p+q=b\end{array}\right.\\\frac{\left(ax+p\right)\left(ax+q\right)}a&=&0\left\{\begin{array}{l}x_1=-\frac pa\\x_2=-\frac qa\end{array}\right.\end{array}$
Penyelesaian:
Pemfaktoran untuk $a\neq1$
$\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c&=&0\left\{\begin{array}{l}pq=ac\\p+q=b\end{array}\right.\\\frac{\left(ax+p\right)\left(ax+q\right)}a&=&0\left\{\begin{array}{l}x_1=-\frac pa\\x_2=-\frac qa\end{array}\right.\end{array}$
$2x^2+3x-9=0,\;\text{syarat: }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{\begin{array}{l}pq=-18\\p+q=3\end{array}\right.$
Dua bilangan yang memenuhi syarat adalah $6$ dan $-3$, sehingga:$\begin{array}{rcl}2x^2+3x-9&=&0\\\frac{\left(2x+6\right)\left(2x-3\right)}2&=&0\end{array}$
Maka:
$\begin{array}{rcl}x=\frac{-6}2&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=\frac{-\left(-3\right)}2\\x=\boxed{-3}&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=\boxed{\frac32}\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: d
Rumus Ninja:
Akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan $a\neq1$ dapat ditentukan dengan cara berikut:
1. Pindahkan $a$ ke bagian konstanta dengan operasi perkalian, sehingga persamaannya $x^2+bx+ac=0$
2. Faktorkan seperti biasa, kemudian tentukan akarnya
3. Akar persamaan adalah akar yang didapat pada langkah kedua dibagi nilai $a$ yang dipindahkan
Akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan $a\neq1$ dapat ditentukan dengan cara berikut:
1. Pindahkan $a$ ke bagian konstanta dengan operasi perkalian, sehingga persamaannya $x^2+bx+ac=0$
2. Faktorkan seperti biasa, kemudian tentukan akarnya
3. Akar persamaan adalah akar yang didapat pada langkah kedua dibagi nilai $a$ yang dipindahkan
Langkah Ninja:
$\begin{array}{rcl}2x^2+3x-9&=&0\\x^2+3x-9.2&=&0\Rightarrow\text{Langkah 1}\\x^2+3x-18&=&0\\\left(x+6\right)\left(x-3\right)&=&0\\x=-6&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=3\Rightarrow\text{Langkah 2}\\x=\frac{-6}2&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=\frac32\Rightarrow\text{Langkah 3}\\x=\boxed{-3}&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=\boxed{\frac32}\end{array}$
Contoh 5
Akar-akar persamaan $2x^2-9x+9=0$ untuk $x\in\mathbb{R}$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1>x_2$, maka nilai $x_1-2x_2$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: c
Catatan:
Metode kuadrat sempurna:
1. $x^2\pm bx+c=0$, jika koefisien $x^2$ belum 1 maka rubahlah terlebih dahulu menjadi 1
2. Pindahkan konstanta dari ruas kiri ke ruas kanan
$\;\;\;x^2\pm bx=-c$
3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left(\frac b2\right)^2$
$\;\;\;x^2\pm bx+\left(\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
4. Selesaikan persamaan dengan cara berikut
$\;\;\;\left(x\pm\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
Penyelesaian:
Metode kuadrat sempurna:
1. $x^2\pm bx+c=0$, jika koefisien $x^2$ belum 1 maka rubahlah terlebih dahulu menjadi 1
2. Pindahkan konstanta dari ruas kiri ke ruas kanan
$\;\;\;x^2\pm bx=-c$
3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left(\frac b2\right)^2$
$\;\;\;x^2\pm bx+\left(\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
4. Selesaikan persamaan dengan cara berikut
$\;\;\;\left(x\pm\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
$\begin{array}{rcl}2x^2-9x+9&=&0\\x^2-\frac92x+\frac92&=&0\Rightarrow\text{Langkah 1}\\x^2-\frac92x&=&-\frac92\Rightarrow\;\text{Langkah 2}\\x^2-\frac92x+\left(\frac{-{\displaystyle\frac92}}2\right)^2&=&-\frac92+\left(\frac{-{\displaystyle\frac92}}2\right)^2\Rightarrow\;\text{Langkah 3}\\x^2-\frac92x+\left(-\frac94\right)^2&=&-\frac92+\left(-\frac94\right)^2\\x^2-\frac92x+\frac{81}{16}&=&-\frac{72}{16}+\frac{81}{16}\\x^2-\frac92x+\frac{81}{16}&=&\frac9{16}\\\left(x-\frac94\right)^2&=&\frac9{16}\Rightarrow\text{Langkah 4}\\x-\frac94&=&\pm\sqrt{\frac9{16}}\\x-\frac94&=&\pm\frac34\\x&=&\pm\frac34+\frac94\\x=\frac34+\frac94&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=-\frac34+\frac94\\x=\frac{12}4&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=\frac64\\x=\boxed3&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=\boxed{\frac32}\end{array}$
Karena $x_1>x_2$, maka $x_1=3$ dan $x_2=\frac32$, sehingga:$\begin{array}{rcl}x_1-2x_2&=&3-2\left(\frac32\right)\\&=&3-3\\&=&\boxed0\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: c
Rumus Ninja:
Akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan $a\neq1$ dapat ditentukan dengan cara berikut:
1. Pindahkan $a$ ke bagian konstanta dengan operasi perkalian, sehingga persamaannya $x^2+bx+ac=0$
2. Faktorkan seperti biasa, kemudian tentukan akarnya
3. Akar persamaan adalah akar yang didapat pada langkah kedua dibagi nilai $a$ yang dipindahkan
Akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan $a\neq1$ dapat ditentukan dengan cara berikut:
1. Pindahkan $a$ ke bagian konstanta dengan operasi perkalian, sehingga persamaannya $x^2+bx+ac=0$
2. Faktorkan seperti biasa, kemudian tentukan akarnya
3. Akar persamaan adalah akar yang didapat pada langkah kedua dibagi nilai $a$ yang dipindahkan
Langkah Ninja:
$\begin{array}{rcl}2x^2-9x+9&=&0\\x^2-9x+9.2&=&0\Rightarrow\text{Langkah 1}\\x^2-9x+18&=&0\\\left(x-6\right)\left(x-3\right)&=&0\\x=6&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=3\Rightarrow\text{Langkah 2}\\x=\frac62&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=\frac32\Rightarrow\text{Langkah 3}\\x=\boxed3&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=\boxed{\frac32}\end{array}$
Karena $x_1>x_2$, maka $x_1=3$ dan $x_2=\frac32$, sehingga:$\begin{array}{rcl}x_1-2x_2&=&3-2\left(\frac32\right)\\&=&3-3\\&=&\boxed0\end{array}$
Contoh 6
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^2-4x-1=0$ untuk $x\in\mathbb{R}$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: d
Catatan:
Metode rumus kuadratik:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Penyelesaian:
Metode rumus kuadratik:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\begin{array}{rcl}x_{1,2}&=&\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\\x_{1,2}&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x_{1,2}&=&\frac{-\left(-4\right)\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\left(1\right)\left(-1\right)}}{2\left(1\right)}\\x_{1,2}&=&\frac{4\pm\sqrt{16+4}}2\\x_{1,2}&=&\frac{4\pm\sqrt{20}}2\\x_{1,2}&=&\frac{4\pm\sqrt{4.5}}2\\x_{1,2}&=&\frac{4\pm2\sqrt5}2\\x_{1,2}&=&2\pm\sqrt5\\x_1=\boxed{2+\sqrt5}&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x_2=\boxed{2-\sqrt5}\end{array}$
Cara Cepat - Jalan Ninjaku
Jawaban: d
Rumus Ninja:
Metode kuadrat sempurna:
1. $x^2\pm bx+c=0$, jika koefisien $x^2$ belum 1 maka rubahlah terlebih dahulu menjadi 1
2. Pindahkan konstanta dari ruas kiri ke ruas kanan
$\;\;\;x^2\pm bx=-c$
3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left(\frac b2\right)^2$
$\;\;\;x^2\pm bx+\left(\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
4. Selesaikan persamaan dengan cara berikut
$\;\;\;\left(x\pm\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
Metode kuadrat sempurna:
1. $x^2\pm bx+c=0$, jika koefisien $x^2$ belum 1 maka rubahlah terlebih dahulu menjadi 1
2. Pindahkan konstanta dari ruas kiri ke ruas kanan
$\;\;\;x^2\pm bx=-c$
3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left(\frac b2\right)^2$
$\;\;\;x^2\pm bx+\left(\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
4. Selesaikan persamaan dengan cara berikut
$\;\;\;\left(x\pm\frac b2\right)^2=-c+\left(\frac b2\right)^2$
Langkah Ninja:
$\begin{array}{rcl}x^2-4x-1&=&0\Rightarrow\text{Langkah 1}\\x^2-4x&=&1\Rightarrow\;\text{Langkah 2}\\x^2-4x+\left(\frac{-4}2\right)^2&=&1+\left(\frac{-4}2\right)^2\Rightarrow\;\text{Langkah 3}\\x^2-4x+\left(-2\right)^2&=&1+\left(-2\right)^2\\x^2-4x+4&=&1+4\\x^2-4x+4&=&5\\\left(x-2\right)^2&=&5\Rightarrow\text{Langkah 4}\\x-2&=&\pm\sqrt5\\x&=&\pm\sqrt5+2\\x=\sqrt5+2&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=-\sqrt5+2\\x=\boxed{2+\sqrt5}&\text{atau}&\;\;\;\;\;\;x=\boxed{2-\sqrt5}\end{array}$
3. Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Misalkan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan $D>0$, maka diperoleh:
1. Jumlah akar
$\;\;\;x_1+x_2=-\frac ba$
2. Hasil kali akar
$\;\;\;x_1x_2=\frac ca$
3. Selisih akar
$\;\;\;|x_1-x_2|=\frac{\sqrt D}{|a|}$
4. Jumlah kuadrat
$\;\;\;x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2(x_1x_2)$
5. Selisih kuadrat
$\;\;\;x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$
6. Kuadrat selisih
$\;\;\;(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4(x_1x_2)$
7. Jumlah pangkat tiga
$\;\;\;\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang sifat akar. Semoga bermanfaat!
1. Jumlah akar
$\;\;\;x_1+x_2=-\frac ba$
2. Hasil kali akar
$\;\;\;x_1x_2=\frac ca$
3. Selisih akar
$\;\;\;|x_1-x_2|=\frac{\sqrt D}{|a|}$
4. Jumlah kuadrat
$\;\;\;x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2(x_1x_2)$
5. Selisih kuadrat
$\;\;\;x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$
6. Kuadrat selisih
$\;\;\;(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4(x_1x_2)$
7. Jumlah pangkat tiga
$\;\;\;x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3(x_1x_2)(x_1+x_2)$
8. Selisih pangkat tiga
$\;\;\;x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)^3+3(x_1x_2)(x_1-x_2)$
9. Jumlah kebalikan$\;\;\;\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang sifat akar. Semoga bermanfaat!
Contoh 7
Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+6x=1$ adalah $p$ dan $q$. Nilai dari $p^2+q^2$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: e
Catatan:
$\bullet\;x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2(x_1x_2)$
Penyelesaian:$\bullet\;x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2(x_1x_2)$
Akar-akar persamaan $2x^2+6x=1$ atau $2x^2+6x-1=0$ adalah $p$ dan $q$, maka berlaku:
$\begin{array}{rcl}p+q&=&-\frac ba\\&=&-\frac62\\&=&\boxed{-3}\end{array}$
$\begin{array}{rcl}pq&=&\frac ca\\&=&\frac{-1}{2}\\&=&\boxed{-\frac12}\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}p^2+q^2&=&(p+q)^2-2(pq)\\&=&(-3)^2-2\left(-\frac12\right)\\&=&9+1\\&=&\boxed{10}\end{array}$
Contoh 8
Jika akar-akar persamaan kuadrat $3x^2+5x+1=0$ adalah $m$ dan $n$. Nilai dari $\frac1{m^2}+\frac1{n^2}$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: a
Catatan:
$\bullet\;\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}$
Penyelesaian:$\bullet\;\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}$
Akar-akar persamaan $3x^2+5x+1=0$ adalah $m$ dan $n$, maka berlaku:
$\begin{array}{rcl}m+n&=&-\frac ba\\&=&\boxed{-\frac53}\end{array}$
$\begin{array}{rcl}mn&=&\frac ca\\&=&\boxed{\frac13}\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}\frac1{m^2}+\frac1{n^2}&=&\frac{m^2+n^2}{(mn)^2}\\&=&\frac{(m+n)^2-2(mn)}{(mn)^2}\\&=&\frac{\left(-\frac53\right)^2-2\left(\frac13\right)}{\left(\frac13\right)^2}\\&=&\frac{\frac{25}{9}-\frac23}{\frac19}\\&=&\frac{\frac{25}{9}-\frac69}{\frac19}\\&=&\frac{\frac{19}{9}}{\frac19}\\&=&\frac{19}{9}\times\frac91\\&=&\boxed{19}\end{array}$
Contoh 9
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+(p-1)x-18=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha+2\beta=0$ dan $p\geq0$, maka nilai dari $p$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: e
Catatan:
$\bullet\;x_1+x_2=-\frac ba$
$\bullet\;x_1x_2=\frac ca$
Penyelesaian:$\bullet\;x_1+x_2=-\frac ba$
$\bullet\;x_1x_2=\frac ca$
Diketahui:
$\begin{array}{rcl}\alpha+2\beta&=&0\\\alpha&=&\boxed{-2\beta}\end{array}$
Akar-akar persamaan $x^2+(p-1)x-18=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka berlaku:
$\begin{array}{rcl}\alpha\beta&=&\frac ca\\\alpha\beta&=&\frac{-18}1\\\left(-2\beta\right)\beta&=&-18\\-2\beta^2&=&-18\\\beta^2&=&\frac{-18}{-2}\\\beta^2&=&9\\\beta&=&\pm\sqrt9\\\beta&=&\pm3\\\beta=\boxed3&\text{atau}&\;\;\;\;\;\beta=\boxed{-3}\end{array}$
Untuk $\beta=3$, maka:
$\begin{array}{rcl}\alpha&=&-2\beta\\&=&-2\left(3\right)\\&=&\boxed{-6}\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}\alpha+\beta&=&-\frac ba\\\alpha+\beta&=&-\frac{\left(p-1\right)}1\\-6+3&=&-p+1\\-3&=&-p+1\\p&=&1+3\\p&=&\boxed4\end{array}$
Untuk $\beta=-3$, maka:
$\begin{array}{rcl}\alpha&=&-2\beta\\&=&-2\left(-3\right)\\&=&\boxed6\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}\alpha+\beta&=&-\frac ba\\\alpha+\beta&=&-\frac{\left(p-1\right)}1\\6+\left(-3\right)&=&-p+1\\6-3&=&-p+1\\3&=&-p+1\\p&=&1-3\\p&=&\boxed{-2}\end{array}$
Karena syarat $p\geq0$ maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=\boxed4$
Contoh 10
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+(p+1)x+8=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha=\frac12\beta$ dan $\alpha,\beta$ positif, maka nilai dari $p$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: d
Catatan:
$\bullet\;x_1+x_2=-\frac ba$
$\bullet\;x_1x_2=\frac ca$
Penyelesaian:$\bullet\;x_1+x_2=-\frac ba$
$\bullet\;x_1x_2=\frac ca$
Diketahui:
$\alpha=\boxed{\frac12\beta}$
Akar-akar persamaan $x^2+(p+1)x+8=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka berlaku:
$\begin{array}{rcl}\alpha\beta&=&\frac ca\\\alpha\beta&=&\frac81\\\left(\frac12\beta\right)\beta&=&8\\\frac12\beta^2&=&8\\\beta^2&=&8\times2\\\beta^2&=&16\\\beta&=&\pm\sqrt{16}\\\beta&=&\pm4\\\beta=\boxed4&\text{atau}&\;\;\;\;\;\beta=\boxed{-4}\end{array}$
Untuk $\beta=4$, maka:
$\begin{array}{rcl}\alpha&=&\frac12\beta\\&=&\frac12\left(4\right)\\&=&\boxed2\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}\alpha+\beta&=&-\frac ba\\\alpha+\beta&=&-\frac{\left(p+1\right)}1\\2+4&=&-p-1\\6&=&-p-1\\p&=&-1-6\\p&=&\boxed{-7}\end{array}$
Untuk $\beta=-4$, maka:
$\begin{array}{rcl}\alpha&=&\frac12\beta\\&=&\frac12\left(-4\right)\\&=&\boxed{-2}\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}\alpha+\beta&=&-\frac ba\\\alpha+\beta&=&-\frac{\left(p+1\right)}1\\-2+\left(-4\right)&=&-p-1\\-2-4&=&-p-1\\-6&=&-p-1\\p&=&-1+6\\p&=&\boxed5\end{array}$
Karena syarat $\alpha,\beta$ positif, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=\boxed{-7}$
4. Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Dilihat dari nilai diskriminannya $(D=b^2-4ac)$ akar-akar persamaan kuadrat dibagi menjadi 3, yaitu:
a. $D\geq0\Rightarrow$ (2 akar real)
$\;\;\; D>0\Rightarrow$ (akar real dan berbeda)
$\;\;\; D=0\Rightarrow$ (akar real dan sama)
b. $D<0\Rightarrow$ (akar imajiner)
c. $D=k^2\Rightarrow$ (2 akar rasional)
Berikut beberapa bentuk perluasan untuk akar-akar real:
1. Kedua akar berkebalikan, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D\geq0$
$\;\;\;\bullet\;x_1x_2=1$
2. Kedua akar berlawanan, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D>0$
$\;\;\;\bullet\;x_1+x_2=0$
$\;\;\;\bullet\;x_1x_2<0$
3. Kedua akar positif, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D\geq0$
$\;\;\;\bullet\;x_1+x_2>0$
$\;\;\;\bullet\;x_1x_2>0$
4. Kedua akar negatif, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D\geq0$
$\;\;\;\bullet\;x_1+x_2<0$
$\;\;\;\bullet\;x_1x_2>0$
5. Kedua akar berlainan tanda, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D>0$
$\;\;\;\bullet\;x_1x_2<0$
6. Kedua akar lebih besar dari $p$, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D\geq0$
$\;\;\;\bullet\;(x_1-p)+(x_2-p)>0$
$\;\;\;\bullet\;(x_1-p)(x_2-p)>0$
7. Kedua akar lebih kecil dari $q$, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D\geq0$
$\;\;\;\bullet\;(x_1-q)+(x_2-q)<0$
$\;\;\;\bullet\;(x_1-q)(x_2-q)>0$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang jenis-jenis akar. Semoga bermanfaat!
a. $D\geq0\Rightarrow$ (2 akar real)
$\;\;\; D>0\Rightarrow$ (akar real dan berbeda)
$\;\;\; D=0\Rightarrow$ (akar real dan sama)
b. $D<0\Rightarrow$ (akar imajiner)
c. $D=k^2\Rightarrow$ (2 akar rasional)
Berikut beberapa bentuk perluasan untuk akar-akar real:
1. Kedua akar berkebalikan, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D\geq0$
$\;\;\;\bullet\;x_1x_2=1$
2. Kedua akar berlawanan, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D>0$
$\;\;\;\bullet\;x_1+x_2=0$
$\;\;\;\bullet\;x_1x_2<0$
3. Kedua akar positif, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D\geq0$
$\;\;\;\bullet\;x_1+x_2>0$
$\;\;\;\bullet\;x_1x_2>0$
4. Kedua akar negatif, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D\geq0$
$\;\;\;\bullet\;x_1+x_2<0$
$\;\;\;\bullet\;x_1x_2>0$
5. Kedua akar berlainan tanda, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D>0$
$\;\;\;\bullet\;x_1x_2<0$
6. Kedua akar lebih besar dari $p$, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D\geq0$
$\;\;\;\bullet\;(x_1-p)+(x_2-p)>0$
$\;\;\;\bullet\;(x_1-p)(x_2-p)>0$
7. Kedua akar lebih kecil dari $q$, syarat:
$\;\;\;\bullet\;D\geq0$
$\;\;\;\bullet\;(x_1-q)+(x_2-q)<0$
$\;\;\;\bullet\;(x_1-q)(x_2-q)>0$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang jenis-jenis akar. Semoga bermanfaat!
Contoh 11
Persamaan kuadrat $x^2+(p-1)x+2=0$ mempunyai akar-akar yang saling berlawanan. Jika $p>0$, maka nilai $5p$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: a
Catatan:
Syarat kedua akar saling berlawanan:
$\bullet\;D>0$
$\bullet\;x_1+x_2=0$
$\bullet\;x_1x_2<0$
Penyelesaian:Syarat kedua akar saling berlawanan:
$\bullet\;D>0$
$\bullet\;x_1+x_2=0$
$\bullet\;x_1x_2<0$
Misal, akar-akar persamaan $x^2+(p-1)x+2=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Karena saling berlawanan $(x_1=-x_2)$, maka berlaku:
$\begin{array}{rcl}x_1+x_2&=&0\\-\frac ba&=&0\\-\frac{(p-1)}1&=&0\\-p+1&=&0\\\boxed1&=&p\end{array}$
Sehingga:
$\begin{array}{rcl}5p&=&5(1)\\&=&\boxed5\end{array}$
5. Membuat Persamaan Kuadrat Baru
Jika diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, maka persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, dapat dicari dengan cara sebagai berikut:
$x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$
Berikut ini adalah beberapa soal latihan yang bisa digunakan untuk lebih memahami tentang menyusun persamaan kuadrat baru. Semoga bermanfaat!
Contoh 12
Persamaan kuadrat $2x^2+3x-2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\frac\alpha\beta$ dan $\frac\beta\alpha$ adalah....
Pembahasan Lengkap
Jawaban: a
Catatan:
Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$:
$\boxed{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0}$
Penyelesaian:Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$:
$\boxed{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0}$
Akar-akar persamaan $2x^2+3x-2=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka berlaku:
$\begin{array}{rcl}\alpha+\beta&=&-\frac ba\\&=&\boxed{-\frac32}\end{array}$
$\begin{array}{rcl}\alpha\beta&=&\frac ca\\&=&\frac{-2}{2}\\&=&\boxed{-1}\end{array}$
Misal, akar-akar persamaan kuadrat baru adalah $p=\frac\alpha\beta$ dan $q=\frac\beta\alpha$, maka:
$\begin{array}{rcl}p+q&=&\frac\alpha\beta+\frac\beta\alpha\\&=&\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\\&=&\frac{(\alpha+\beta)^2-2(\alpha\beta)}{\alpha\beta}\\&=&\frac{\left(-\frac32\right)^2-2(-1)}{-1}\\&=&\frac{\left(\frac94+2\right)}{-1}\\&=&\frac{\left(\frac94+\frac84\right)}{-1}\\&=&\frac{\left(\frac{17}4\right)}{-1}\\&=&\boxed{-\frac{17}4}\end{array}$
$\begin{array}{rcl}pq&=&\frac\alpha\beta\times\frac\beta\alpha\\&=&\frac{\alpha\beta}{\alpha\beta}\\&=&\boxed{1}\end{array}$
Sehingga persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $p=\frac\alpha\beta$ dan $q=\frac\beta\alpha$ adalah:
$\begin{array}{rcl}x^2-(p+q)x+pq&=&0\\x^2-\left(-\frac{17}4\right)x+1&=&0\\x^2+\frac{17}4x+1&=&0\Rightarrow\text{dikali }\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\\4x^2+17x+4&=&0\end{array}$
Tags:
Aljabar