Program Linear

Program linear merupakan salah satu materi matematika yang digunakan untuk menentukan nilai optimum, baik maksimum maupun minimum, dari suatu permasalahan dengan mempertimbangkan berbagai kendala. Pada materi ini, kamu akan mempelajari pertidaksamaan linear dua variabel, menentukan daerah penyelesaian, menentukan nilai optimum fungsi objektif, serta menerapkan konsep program linear dalam berbagai permasalahan kehidupan sehari-hari.

📚 Tujuan:

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut:

1. Dapat menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel.
2. Dapat menentukan daerah penyelesaian program linear dua variabel.
3. Dapat menentukan nilai optimum fungsi objektif.
4. Dapat menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan program linear dua variabel.
5. Dapat menyelesaikan beberapa kasus daerah penyelesaian program linear dua variabel.

Wise Quote:

"Barang siapa yang menempuh jalan untuk mencari ilmu, maka Allah akan mudahkan baginya jalan menuju surga."
(HR Muslim)

A. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sebelumnya, kamu sudah mempelajari tentang konsep persamaan dan sistem persamaan linear dua variabel. Prinsip tersebut akan kita gunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Prinsip yang dimaksud adalah menentukan nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear tersebut.

Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut.

$ax+by\geq c$
$ax+by>c$
$ax+by\leq c$
$ax+by<c$

Keterangan:
$\begin{array}{rcl}a,b&=&\text{koefisien}\left(a\neq0,b\neq0,a,b\in R\right)\\c&=&\text{konstanta}\left(c\in R\right)\\x,y&=&\text{variabel}\left(x,y\in R\right)\end{array}$

Untuk menentukan solusinya, kita dapat menggambar daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Langkah-langkah menggambar daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut.

1. Buat garis lurus dari persamaan $ax+by=c$.
2. Uji satu titik, misalnya $T\left(x,y\right)$. Jika titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, berarti daerah yang memuat titik tersebut merupakan daerah penyelesaiannya.
3. Arsir daerah penyelesaian tersebut.

Gambar daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel untuk $a,b,c$ positif adalah sebagai berikut.

Garis putus-putus menunjukkan bahwa titik-titik yang berada pada garis tersebut tidak termasuk dalam daerah penyelesaian. Pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari banyak melibatkan pembatasan dari suatu masalah. Kita bisa menyebut pembatas tersebut sebagai constraints atau kendala. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

B. Daerah Penyelesaian Program Linear Dua Variabel

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian program linear dua variabel adalah sebagai berikut.

1. Gambarkan setiap pertidaksamaan sebagai suatu persamaan garis lurus. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda $<$ atau $>$ , garisnya dibuat putus-putus.
2. Ambil sembarang titik di luar garis tersebut, misalnya titik $P$.
3. Substitusikan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan.
4. Jika pertidaksamaan bernilai benar, berarti daerah yang memuat titik $P$ adalah daerah penyelesaiannya. Jika pertidaksamaan bernilai salah, berarti daerah lain yang tidak memuat titik $P$ adalah daerah penyelesaianya.
5. Ulangi langkah-langkah tersebut untuk pertidaksamaan lainnya.
6. Kemudian, perhatikan irisan atau daerah yang memenuhi untuk setiap pertidaksamaan yang diberikan.
7. Perhatikan syarat-syarat non-negatif untuk setiap variabel. Nilai variabel tidak selalu positif.

C. Nilai Optimum Fungsi Objektif

Program linear adalah cara untuk mencari nilai optimum, baik nilai maksimum maupun minimum dari bentuk linear yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan linear. Nilai optimum tersebut akan ditentukan oleh fungsi objektif yang diberikan. Nilai optimum fungsi objektif dapat ditentukan melalui dua metode berikut.

1. Metode uji titik pojok
   Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif melalui metode uji titik pojok adalah sebagai berikut.
   Gambarkan daerah penyelesaian dari kendala-kendala yang diberikan.

   Tentukan titik-titik pojok pada daerah penyelesaian tersebut.

   Substitusikan titik-titik tersebut ke fungsi objektif. Nilai terbesar menunjukkan nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil menunjukkan nilai minimum
2. Metode garis selidik
   Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif melalui metode garis selidik adalah sebagai berikut.
   Langkah pertama metode garis selidik.

   Gambarkan garis selidiknya. Misalkan terdapat fungsi objektif $f(x,y)=ax+by$. Ini berarti, garis selidiknya adalah $ax+by=k,a>0,b>0$, dan $k\in R$. Garis selidik adalah himpunan garis-garis yang sejajar.

   Tentukan nilai optimum fungsi objektif dengan cara berikut.

D. Penerapan Program Linear Dua Variabel

Setelah mempelajari tentang pertidaksamaan linear dua variabel, cara menentukan daerah penyelesaian program linear dua variabel, dan cara mencari nilai optimum fungsi objektif, sekarang kita akan belajar sesuatu yang lebih realistis, yaitu penerapan program linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari.

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian program linear dua variabel adalah sebagai berikut.

1. Menentukan variabel yang digunakan, misalnya $x$ dan $y$
2. Menentukan jenis masalahnya, maksimum atau minimum.
3. Merumuskan masalah tersebut ke dalam model matematika berupa fungsi objektif dan kendala.
4. Menggambar grafik sistem pertidaksamaannya.
5. Menentukan daerah penyelesaiannya.
6. Menganalisis nilai objektifnya.

E. Beberapa Kasus Daerah Penyelesaian Program Linear Dua Variabel

Berdasarkan kendala sistem pertidaksamaannya, terdapat beberapa kasus daerah penyelesaian program linear dua variabel, yaitu sebagai berikut.

1. Daerah penyelesaian terbuka
   aerah penyelesaian terbuka biasanya ditandai dengan tidak adanya nilai fungsi objektif maksimum dan/atau minimum. Contoh kendala sistem pertidaksamaannya adalah sebagai berikut.
2. Kendala redundan
   Dalam kasus ini, terdapat minimal satu kendala yang tidak tersentuh oleh daerah penyelesaian. Dengan kata lain, jika kendala tersebut tidak dimasukkan ke dalam sistem pertidaksamaan, daerah penyelesaian maupun nilai fungsi objektif sistem pertidaksamaan tersebut tidak akan terpengaruh. Contoh kendala sistem pertidaksamaannya adalah sebagai berikut.
3. Daerah penyelesaian diskret
   Dalam beberapa kasus, kita akan menemukan kendala dengan variabel diskret (diskontinu). Contohnya adalah variabel banyaknya orang yang dibutuhkan dalam menyelesaikan suatu proyek, atau banyaknya bus yang dibutuhkan untuk mengangkut penumpang. Penyelesaian dalam kasus ini berupa titik-titik diskret yang diperbolehkan. Biasanya, daerah penyelesaian diskret ditulis dengan $x,y,...\in Z$.

💡

Contoh 1

Jika $x$ adalah bilangan ganjil positif dan $y$ adalah bilangan genap negatif, operasi di bawah ini yang selalu menghasilkan bilangan ganjil positif adalah....

a $x.y$

b $x-y$

c $2x+y$

d $x^2+y$

e $x-2y$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: b

Catatan:
Aturan paritas:
$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Operasi}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\text{Hasil}\;\;\;\;\;\;\;\;\\\hline\text{ganjil}\;\;\;\;\;\;\;\;+\text{ganjil}\;\;\;\;\;\;\;&\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\hline\text{ganjil}\;\;\;\;\;\;\;\;+\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;&\text{ganjil}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\hline\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;&\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\hline\text{ganjil}\;\;\;\;\;\;\;\;-\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;&\text{ganjil}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\hline\text{ganjil}\;\;\;\;\;\;\;\;\times\text{ganjil}\;\;\;\;\;\;\;&\text{ganjil}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\hline\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\times\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;&\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\hline\text{ganjil}\;\;\;\;\;\;\;\;\times\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\hline\end{array}$

Penyelesaian:
Diketahui:
$x=$ ganjil positif
$y=$ genap negatif.
Dengan mengecek setiap pilihan ganda, diperoleh:
$\begin{array}{rcl}\text{a. }\;\;\;xy&=&\text{ganjil }\;\;\;\;\;\;\;\;\times(-\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\text{ }\;)\;\;\;\;\;\;\;\;\\&=&-\text{genap}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\text{b. }\;\;\;x-y&=&\text{ganjil }\;\;\;\;\;\;\;\;-(-\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\text{ }\;)\;\;\;\;\;\;\;\;\\&=&\text{ganjil }\;\;\;\;\;\;\;\;+\text{genap }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\&=&\text{ganjil }\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\text{c. }\;\;\;2x+y&=&\text{2(ganjil) }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+(-\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\text{ }\;)\;\;\;\;\;\\&=&\text{genap }\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\text{genap }\;\;\;\;\;\;\;\\&=&\pm\text{genap}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\text{d. }\;\;\;x^2+y&=&\text{(ganjil)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;^2+(-\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\text{ }\;)\\&=&\text{ganjil }\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\text{genap }\;\;\;\;\;\;\;\\&=&\pm\text{ganjil}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\text{e. }\;\;\;x+2y&=&\text{ganjil }\;\;\;\;\;\;\;\;+(2\left(-\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\right)\text{ })\\&=&\text{ganjil }\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2\text{genap}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{ }\;\;\;\;\;\;\;\\&=&-\text{ganjil}\end{array}$

💡

Contoh 2

Diberikan tiga himpunan sebagai berikut:
$A=\left\{x\left|x<6,x\in\text{bilangan asli}\right.\right\}$
$B=\left\{x\left|x\;\text{bilangan genap},x\in\text{bilangan asli}\right.\right\}$
$C=\left\{x\left|x\leq10,x\in\text{bilangan prima}\right.\right\}$
Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, hasil dari $\left(A\cap B\right)\cup C$ adalah....

a $\left\{2,3,5,7\right\}$

b $\left\{0,2,3,5,7\right\}$

c $\left\{2,3,4,5,7\right\}$

d $\left\{0,2,3,4,5,7\right\}$

e $\left\{2,3,4,5,7,10\right\}$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: c

Catatan:
$\cup=$ gabungan
$\cap=$ irisan

Penyelesaian:
Diketahui:
$\begin{array}{rcl}A&=&\left\{x\left|x<6,x\in\text{bilangan asli}\;\;\right.\right\}\\&=&\left\{1,2,3,4,5\right\}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}B&=&\left\{x\left|x\;\text{bilangan genap}\;\;,x\in\text{bilangan asli}\;\;\right.\right\}\\&=&\left\{2,4,6,8,...\right\}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}C&=&\left\{x\left|x\leq10,x\in\text{bilangan prima}\;\;\right.\right\}\\&=&\left\{2,3,5,7\right\}\end{array}$

maka:
$\begin{array}{rcl}\left(A\cap B\right)\cup C&=&\left(\left\{1,2,3,4,5\right\}\cap\left\{2,4,6,8,...\right\}\right)\cup\left\{2,3,5,7\right\}\\&=&\left\{2,4\right\}\cup\left\{2,3,5,7\right\}\\&=&\boxed{\left\{2,3,4,5,7\right\}}\end{array}$

💡

Contoh 3

Bentuk sederhana dari $\frac{3^\frac23\times8^\frac23}{2^\frac52\times9^\frac56}$ adalah....

a $\frac1{42}$

b $\frac23$

c $\frac43$

d $6$

e $12$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: c

Catatan:
Pada operasi eksponen, ubah basis menjadi:
1. Bilangan berpangkat (jika bisa)
2. Perkalian beberapa bilangan (jika basis tidak bisa diubah menjadi bilangan berpangkat)

Penyelesaian:
$\begin{array}{rcl}\frac{3^\frac23\times8^\frac32}{2^\frac52\times9^\frac56}&=&\frac{3^\frac23\times\left(2^3\right)^\frac32}{2^\frac52\times\left(3^2\right)^\frac56}\\&=&\frac{3^\frac23\times2^{3\times\frac32}}{2^\frac52\times3^{2\times\frac56}}\\&=&\frac{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}3}^\frac23\times{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}2}^\frac92}{{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}2}^\frac52\times{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}3}^\frac53}\\&=&{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}3}^{\frac23-\frac53}\times{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}2}^{\frac92-\frac52}\\&=&3^\frac{-3}3\times2^\frac42\\&=&3^{-1}\times2^2\\&=&\frac{2^2}{3^1}\\&=&\boxed{\frac43}\end{array}$

💡

Contoh 4

Jika bilangan bulat $a$ dan $b$ memenuhi $\frac{\sqrt5-\sqrt6}{\sqrt5+\sqrt6}=a+b\sqrt{30}$, maka nilai $ab$ adalah....

a $-22$

b $-11$

c $-9$

d $2$

e $13$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: a

Catatan:
Operasi perpangkatan dan perkalian bentuk aljabar:
1. $\left(x-y\right)^2=x^2+y^2-2xy$
2. $\left(x+y\right)\left(x-y\right)=x^2-y^2$

Penyelesaian:
$\begin{array}{rcl}\frac{\sqrt5-\sqrt6}{\sqrt5+\sqrt6}&=&a+b\sqrt{30}\\\frac{\sqrt5-\sqrt6}{\sqrt5{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}+}\sqrt6}\times\frac{\sqrt5{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}-}\sqrt6}{\sqrt5{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}-}\sqrt6}&=&a+b\sqrt{30}\\\frac{\left(\sqrt5-\sqrt6\right)^2}{\left(\sqrt5+\sqrt6\right)\left(\sqrt5-\sqrt6\right)}&=&a+b\sqrt{30}\\\frac{5+6-2\sqrt{30}}{5-6}&=&a+b\sqrt{30}\\\frac{11-2\sqrt{30}}{-1}&=&a+b\sqrt{30}\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}-}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}11}+{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}2}\sqrt{30}&=&{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}+{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\sqrt{30}\end{array}$

Sehingga diperoleh:
$a=\boxed{-11}$ dan $b=\boxed2$, maka:
$\begin{array}{rcl}ab&=&-11\left(2\right)\\&=&\boxed{-22}\end{array}$

💡

Contoh 5

Sebuah toko pakaian menerapkan sistem diskon ganda (beruntun) untuk menghabiskan stok akhir tahun. Sebuah jaket mula-mula diberikan diskon sebesar $20\%$, kemudian harga setelah diskon tersebut didiskon kembali sebesar $10\%$. Jika seorang pembeli membayar sebesar Rp$144.000$ untuk jaket tersebut, maka harga asli jaket sebelum mendapatkan diskon beruntun adalah....

a Rp$180.000$

b Rp$200.000$

c Rp$220.000$

d Rp$240.000$

e Rp$260.000$

✓

Pembahasan Lengkap

Jawaban: b

Catatan:
Diskon = potongan harga

Penyelesaian:
Misal, harga awal jaket $=x$
Diskon pertama $=20\%$, maka diperoleh:

$\begin{array}{rcl}\text{Harga setelah diskon pertama}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&=&\left(100\%-20\%\right)\times\text{harga awal}\\&=&80\%x\\&=&\frac{80}{100}x\\&=&0,8x\end{array}$

Diskon kedua $=10\%$, maka diperoleh:

$\begin{array}{rcl}\text{Harga setelah diskon kedua}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&=&\left(100\%-10\%\right)\times\text{harga setelah diskon pertama}\\&=&90\%\left(0,8x\right)\\&=&\frac{90}{100}\left(0,8x\right)\\&=&0,9\left(0,8x\right)\\&=&0,72x\end{array}$

Diketahui harga yang harus dibayar adalah Rp$144.000$, maka diperoleh:

$\begin{array}{rcl}\text{Harga yang harus dibayar}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&=&\text{Harga setelah diskon kedua}\\144.000&=&0,72x\\\frac{144.000}{0,72}&=&x\\\frac{14.400.000}{72}&=&x\\\boxed{200.000}&=&x\end{array}$

⚡

Cara Cepat - Jalan Ninjaku

Jawaban: b

Rumus Ninja:
Menentukan harga awal $(H_o)$ jika diketahui harga akhir $(H_n)$ dan diskon beruntun $d_1$ dan $d_2$ adalah:
$H_o=\frac{H_n}{\left(1-{\displaystyle d_1}\right)\left(1-{\displaystyle d_1}\right)}$

Langkah Ninja:

$\begin{array}{rcl}H_o&=&\frac{H_n}{\left(1-{\displaystyle d_1}\right)\left(1-{\displaystyle d_2}\right)}\\&=&\frac{144.000}{\left(1-20\%\right)\left(1-10\%\right)}\\&=&\frac{144.000}{\left(1-{\displaystyle\frac{20}{100}}\right)\left(1-{\displaystyle\frac{10}{100}}\right)}\\&=&\frac{144.000}{\left(1-0,2\right)\left(1-0,1\right)}\\&=&\frac{144.000}{\left(0,8\right)\left(0,9\right)}\\&=&\frac{144.000}{0,72}\\&=&\frac{14.400.000}{72}\\&=&\boxed{200.000}\end{array}$