1. Definisi Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi berbentuk persegipanjang yang disusun menurut baris (bilangan yang tersusun mendatar atau horizontal) dan kolom (bilangan yang tersusun tegak atau vertikal). Matriks dinotasikan dengan menggunakan huruf besar (kapital). Perhatikan contoh berikut.
$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}$
Pada matriks A di atas, matriks teridiri dari 3 baris, yaitu:
$\bullet$ Baris 1, beranggotakan: $a, b, c$
$\bullet$ Baris 2, beranggotakan: $d, e, f$
$\bullet$ Baris 3, beranggotakan: $g, h, i$
selain itu matriks A di atas juga terdiri dari 3 kolom, yaitu:
$\bullet$ Kolom 1, beranggotakan: $a, d, g$
$\bullet$ Kolom 2, beranggotakan: $b, e, h$
$\bullet$ Kolom 3, beranggotakan: $c, f, i$
Unsur baris dan kolom menentukan letak suatu elemen pada sebuah matriks. Pada matriks A di atas, unsur matriks yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan $a_{ij}$. Sebagai contoh, elemen $a_{23}=f$, $a_{13}=c$, dan seterusnya.
Diberikan matriks $A=\begin{pmatrix}2&1&3\\4&2&0\\5&6&1\end{pmatrix}$ sebagai berikut. Tentukan!
a. $a_{21}$
b. $a_{32}$
c. $a_{22}+a_{23}-a_{12}$
Jawab:
Ingat!!!
$a_{ij}=$ anggota matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j
maka:
a. $a_{21}=\boxed4$
b. $a_{32}=\boxed6$
$\begin{array}{rcl}\text{c.}\;a_{22}+a_{23}-a_{12}&=&2+0-1\\&=&\boxed1\end{array}$
2. Ukuran atau Ordo suatu Matriks
Ukuran atau ordo suatu matriks adalah ukuran yang menunjukkan banyak baris dan banyak kolom dari suatu matriks. Ukuran atau ordo suatu matriks dinotasikan dengan $A_{i×j}$. Perhatikan contoh berikut.
$\begin{bmatrix}1&0\\2&4\\3&3\end{bmatrix}$ memiliki ordo $3\times2$
$\begin{bmatrix}3&-1\\2&0\end{bmatrix}$ memiliki ordo $2\times2$
$\begin{bmatrix}0&2&1\end{bmatrix}$ memiliki ordo $1\times3$
3. Transpos Matriks
Transpos suatu matriks adalah operasi mengubah susunan baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Baris ke-i diubah menjadi kolom ke-i atau kolom ke-j diubah menjadi baris ke-j. Notasi dari transpos matriks A dituliskan $A^T$ atau terkadang $A^t$. Perhatikan contoh berikut.
$A=\begin{bmatrix}1&0&3\\6&2&5\end{bmatrix},\;A^T=\begin{bmatrix}1&6\\0&2\\3&5\end{bmatrix}$
Bisa dilihat bahwa elemen baris ke-1 yaitu 1, 0, 3 dituliskan pada kolom ke-1, elemen baris ke-2 yaitu 6, 2, 5 dituliskan pada kolom ke-2. Transpos suatu matriks bisa mengubah ordo suatu matriks. Pada matriks di atas matriks A berorodo $2\times3$ $(A_{2x3})$ sedangkan matriks A transpos berorodo $3\times2$ $({A^T}_{3x2})$
4. Kesamaan Dua Matriks
Suatu matriks dikatakan sama bila memiliki ordo yang sama dan setiap elemen seletak pada kedua matriks itu sama. Bila suatu matriks diketahui sama, otomatis setiap elemen seletaknya pasti sama.
Himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak $\left|2x\right|=4$ untuk $x\in\mathbb{R}$ adalah. . . .
a. $\left\{2\right\}$
b. $\left\{-2\right\}$
c. $\left\{-2,2\right\}$
d. $\left\{4\right\}$
e. $\left\{-4,4\right\}$
Jawab:
Gunakan definisi nilai mutlak: $\boxed{\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;x\geq0\\-x,\;x<0\end{array}\right.}$
$\left|2x\right|=\left\{\begin{array}{l}2x,\;2x\geq0\\2x,\;x\geq\frac02\\\boxed{2x},\;x\geq0\\\\-(2x),\;2x<0\\-2x,\;x<\frac0{-2}\\\boxed{-2x},\;x<0\end{array}\right.$
$\left|2x\right|=4\left\{\begin{array}{rcl}2x&=&4\\x&=&\frac42\\x&=&\boxed2\;\text{(memenuhi syarat: $x\geq0$)}\end{array}\right.$
$\left|2x\right|=4\left\{\begin{array}{rcl}-2x&=&4\\x&=&\frac4{-2}\\x&=&\boxed{-2}\;\text{(memenuhi syarat: $x<0$)}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed2$ atau $x =\boxed{-2}$.
$\boxed{\left|f(x)\right|=a}$ untuk $\;a>0$, maka solusinya: $\boxed{f(x)=\pm a}$
Langkah Ninja:
$\left|2x\right|=4\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}2x&=&4\\x&=&\frac42\\x&=&\boxed2\\&&\end{array}\\\text{atau}\\\\\begin{array}{rcl}2x&=&-4\\x&=&\frac{-4}2\\x&=&\boxed{-2}\end{array}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed2$ atau $x = \boxed{-2}$.
Himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak $\left|2x+1\right|=5$ untuk $x\in\mathbb{R}$ adalah. . . .
a. $\left\{-2\right\}$
b. $\left\{2\right\}$
c. $\left\{-3,2\right\}$
d. $\left\{2,3\right\}$
e. $\left\{-2,3\right\}$
Jawab:
Gunakan definisi nilai mutlak: $\boxed{\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;x\geq0\\-x,\;x<0\end{array}\right.}$
$\left|2x+1\right|=\left\{\begin{array}{l}2x+1,\;2x+1\geq0\\2x+1,\;2x\geq0-1\\2x+1,\;2x\geq-1\\\boxed{2x+1},\;x\geq-\frac12\\\\-(2x+1),\;2x+1<0\\-2x-1,\;2x<0-1\\-2x-1,\;2x<-1\\\boxed{-2x-1},\;x<-\frac12\\\end{array}\right.$
$\left|2x+1\right|=5\left\{\begin{array}{rcl}2x+1&=&5\\2x&=&5-1\\2x&=&4\\x&=&\frac42\\x&=&\boxed2\;\text{(memenuhi syarat: $x\geq-\frac12$)}\end{array}\right.$
$\left|2x+1\right|=5\left\{\begin{array}{rcl}-2x-1&=&5\\-2x&=&5+1\\-2x&=&6\\x&=&\frac6{-2}\\x&=&\boxed{-3}\;\text{(memenuhi syarat: $x<-\frac12$)}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed2$ atau $x = \boxed{-3}$.
$\boxed{\left|f(x)\right|=a}$ untuk $\;a>0$, maka solusinya: $\boxed{f(x)=\pm a}$
Langkah Ninja:
$\left|2x+1\right|=5\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}2x+1&=&5\\2x&=&5-1\\2x&=&4\\x&=&\frac42\\x&=&\boxed2\\&&\end{array}\\\text{atau}\\\\\begin{array}{rcl}2x+1&=&-5\\2x&=&-5-1\\2x&=&-6\\x&=&\frac{-6}2\\x&=&\boxed{-3}\end{array}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed2$ atau $x = \boxed{-3}$.
Himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak $\left|4x-3\right|+2=7$ untuk $x\in\mathbb{R}$ adalah. . . .
a. $\left\{-2,\frac12\right\}$
b. $\left\{-\frac12,2\right\}$
c. $\left\{-2,2\right\}$
d. $\left\{-\frac12,1\right\}$
e. $\left\{-1,2\right\}$
Jawab:
Gunakan definisi nilai mutlak: $\boxed{\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;x\geq0\\-x,\;x<0\end{array}\right.}$
$\left|4x-3\right|=\left\{\begin{array}{l}4x-3,\;4x-3\geq0\\4x-3,\;4x\geq0+3\\4x-3,\;4x\geq3\\\boxed{4x-3},\;x\geq\frac34\\\\-(4x-3),\;4x-3<0\\-4x+3,\;4x<0+3\\-4x+3,\;4x<3\\\boxed{-4x+3},\;x<\frac34\\\end{array}\right.$
$\left|4x-3\right|+2=7\left\{\begin{array}{rcl}(-4x+3)+2&=&7\\-4x+5&=&7\\-4x&=&7-5\\-4x&=&2\\x&=&\frac2{-4}\\x&=&\boxed{-\frac12}\;\text{(memenuhi syarat: }x<\frac34\text{)}\end{array}\right.$
$\left|4x-3\right|+2=7\left\{\begin{array}{rcl}(4x-3)+2&=&7\\4x-1&=&7\\4x&=&7+1\\4x&=&8\\x&=&\frac84\\x&=&\boxed2\;\text{(memenuhi syarat: }x\geq\frac34\text{)}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed{-\frac12}$ atau $x = \boxed2$.
$\boxed{\left|f(x)\right|=a}$ untuk $\;a>0$, maka solusinya: $\boxed{f(x)=\pm a}$
Langkah Ninja:
Rubah dulu persamaan agar menjadi bentuk yang lebih sederhana.
$\begin{array}{rcl}\left|4x-3\right|+2&=&7\\\left|4x-3\right|&=&7-2\\\left|4x-3\right|&=&5\end{array}$
$\left|4x-3\right|=5\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}4x-3&=&5\\4x&=&5+3\\4x&=&8\\x&=&\frac84\\x&=&\boxed2\\&&\end{array}\\\text{atau}\\\\\begin{array}{rcl}4x-3&=&-5\\4x&=&-5+3\\4x&=&-2\\x&=&\frac{-2}4\\x&=&\boxed{-\frac12}\end{array}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed{-\frac12}$ atau $x = \boxed2$.
Himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak $\left|2x+1\right|=\left|x-3\right|$ untuk $x\in\mathbb{R}$ adalah. . . .
a. $\left\{-4,\frac23\right\}$
b. $\left\{-4,2\right\}$
c. $\left\{\frac23,4\right\}$
d. $\left\{-2,\frac23\right\}$
e. $\left\{-2,4\right\}$
Jawab:
Gunakan definisi nilai mutlak: $\boxed{\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;x\geq0\\-x,\;x<0\end{array}\right.}$
$\left|2x+1\right|=\left\{\begin{array}{l}2x+1,\;2x+1\geq0\\2x+1,\;2x\geq0-1\\2x+1,\;2x\geq-1\\\boxed{2x+1},\;x\geq-\frac12\\\\-(2x+1),\;2x+1<0\\-2x-1,\;2x<0-1\\-2x-1,\;2x<-1\\\boxed{-2x-1},\;x<-\frac12\\\end{array}\right.$
$\left|x-3\right|=\left\{\begin{array}{l}x-3,\;x-3\geq0\\x-3,\;x\geq0+3\\\boxed{x-3},\;x\geq3\\\\-(x-3),\;x-3<0\\-x+3,\;x<0+3\\\boxed{-x+3},\;x<3\end{array}\right.$
$\left|2x+1\right|=\left|x-3\right|\left\{\begin{array}{rcl}-2x-1&=&-x+3\\-2x+x&=&3+1\\-x&=&4\\x&=&\frac4{-1}\\x&=&\boxed{-4}\;\text{(memenuhi syarat: $x<-\frac12$)}\end{array}\right.$
$\left|2x+1\right|=\left|x-3\right|\left\{\begin{array}{rcl}2x+1&=&-x+3\\2x+x&=&3-1\\3x&=&2\\x&=&\boxed{\frac23}\;\text{(memenuhi syarat: $-\frac12\leq x<3$)}\end{array}\right.$
$\left|2x+1\right|=\left|x-3\right|\left\{\begin{array}{rcl}2x+1&=&x-3\\2x-x&=&-3-1\\x&=&\boxed{-4}\;\text{(tidak memenuhi syarat: $x\geq3$)}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed{-4}$ atau $x = \boxed{\frac23}$.
$\boxed{\left|f(x)\right|=\left|g(x)\right|}$ , maka solusinya: $\boxed{f(x)=\pm g(x)}$
Langkah Ninja:
Himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak $\left|\frac{x+2}{2x-1}\right|=\frac23,\;x\neq\frac12$ untuk $x\in\mathbb{R}$ adalah. . . .
a. $\left\{-8,-\frac47\right\}$
b. $\left\{-8,\frac47\right\}$
c. $\left\{-8,-4\right\}$
d. $\left\{-\frac47,8\right\}$
e. $\left\{4,8\right\}$
Jawab:
Rubah dulu soal tersebut agar lebih sederhana dengan menggunakan sifat nilai mutlak.
$\left|\frac{x+2}{2x-1}\right|=\frac23,\;x\neq\frac12$ dirubah menjadi $\frac{\left|x+2\right|}{\left|2x-1\right|}=\frac23,\;x\neq\frac12$
Gunakan definisi nilai mutlak: $\boxed{\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;x\geq0\\-x,\;x<0\end{array}\right.}$
$\left|x+2\right|=\left\{\begin{array}{l}x+2,\;x+2\geq0\\x+2,\;x\geq0-2\\\boxed{x+2},\;x\geq-2\\\\-(x+2),\;x+2<0\\-x-2,\;x<0-2\\\boxed{-x-2},\;x<-2\\\end{array}\right.$
$\left|2x-1\right|=\left\{\begin{array}{l}2x-1,\;2x-1\geq0\\2x-1,\;2x\geq0+1\\2x-1,\;2x\geq1\\\boxed{2x-1},\;x\geq\frac12\\\\\\-(2x-1),\;2x-1<0\\-2x+1,\;2x<0+1\\-2x+1,\;2x<1\\\boxed{-2x+1},\;x<\frac12\end{array}\right.$
$\frac{\left|x+2\right|}{\left|2x-1\right|}=\frac23\left\{\begin{array}{rcl}\frac{-x-2}{-2x+1}&=&\frac23\\3\left(-x-2\right)&=&2\left(-2x+1\right)\\-3x-6&=&-4x+2\\-3x+4x&=&2+6\\x&=&\boxed8\;\text{(tidak memenuhi syarat: }x<-2\text{)}\end{array}\right.$
$\frac{\left|x+2\right|}{\left|2x-1\right|}=\frac23\left\{\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{-2x+1}&=&\frac23\\3\left(x+2\right)&=&2\left(-2x+1\right)\\3x+6&=&-4x+2\\3x+4x&=&2-6\\7x&=&-4\\x&=&\boxed{-\frac47}\;\text{(memenuhi syarat: }-2\leq x<\frac12\text{)}\end{array}\right.$
$\frac{\left|x+2\right|}{\left|2x-1\right|}=\frac23\left\{\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{2x-1}&=&\frac23\\3\left(x+2\right)&=&2\left(2x-1\right)\\3x+6&=&4x-2\\3x-4x&=&-2-6\\-x&=&-8\\x&=&\frac{-8}{-1}\\x&=&\boxed8\;\text{(memenuhi syarat: }x\geq\frac12\text{)}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed{-\frac47}$ atau $x = \boxed8$.
Himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak $\left|2x+1\right|+\left|3-x\right|+\left|3x+1\right|=10$ untuk $x\in\mathbb{R}$ adalah. . . .
a. $\left\{-\frac32,\frac54\right\}$
b. $\left\{-2,1\right\}$
c. $\left\{-\frac43,2\right\}$
d. $\left\{-1,\frac32\right\}$
e. $\left\{-\frac53,\frac43\right\}$
Jawab:
Gunakan definisi nilai mutlak: $\boxed{\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;x\geq0\\-x,\;x<0\end{array}\right.}$
$\left|2x+1\right|=\left\{\begin{array}{l}2x+1,\;2x+1\geq0\\2x+1,\;2x\geq0-1\\2x+1,\;2x\geq-1\\\boxed{2x+1},\;x\geq-\frac12\\\\-(2x+1),\;2x+1<0\\-2x-1,\;2x<0-1\\-2x-1,\;2x<-1\\\boxed{-2x-1},\;x<-\frac12\\\end{array}\right.$
$\left|3-x\right|=\left\{\begin{array}{l}3-x,\;3-x\geq0\\3-x,\;3\geq0+x\\3-x,\;3\geq x\\\boxed{3-x},\;x\leq3\\\\-(3-x),\;3-x<0\\-3+x,\;3<0+x\\x-3,\;3< x\\\boxed{x-3},\;x>3\\\end{array}\right.$
$\left|3x+1\right|=\left\{\begin{array}{l}3x+1,\;3x+1\geq0\\3x+1,\;3x\geq0-1\\3x+1,\;3x\geq-1\\\boxed{3x+1},\;x\geq-\frac13\\\\-(3x+1),\;3x+1<0\\-3x-1,\;3x<0-1\\-3x-1,\;3x<-1\\\boxed{-3x-1},\;x<-\frac13\\\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}(-2x-1)+(3-x)+(-3x-1)&=&10\\-2x-1+3-x-3x-1&=&10\\-2x-x-3x-1+3-1&=&10\\-6x+1&=&10\\-6x&=&10-1\\-6x&=&9\\x&=&\frac9{-6}\\x&=&\boxed{-\frac32}\;\text{(memenuhi syarat: }x<-\frac12\text{)}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}(2x+1)+(3-x)+(-3x-1)&=&10\\2x+1+3-x-3x-1&=&10\\2x-x-3x+1+3-1&=&10\\-2x+3&=&10\\-2x&=&10-3\\-2x&=&7\\x&=&\boxed{-\frac72}\;\text{(tidak memenuhi syarat: }-\frac12\leq x<-\frac13\text{)}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}(2x+1)+(3-x)+(3x+1)&=&10\\2x+1+3-x+3x+1&=&10\\2x-x+3x+1+3+1&=&10\\4x+5&=&10\\4x&=&10-5\\4x&=&5\\x&=&\boxed{\frac54}\;\text{(memenuhi syarat: }-\frac13\leq x\leq3\text{)}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}(2x+1)+(x-3)+(3x+1)&=&10\\2x+1+x-3+3x+1&=&10\\2x+x+3x+1-3+1&=&10\\6x-1&=&10\\6x&=&10+1\\6x&=&11\\x&=&\boxed{\frac{11}6}\;\text{(tidak memenuhi syarat: }x>3\text{)}\end{array}\right.$
$\therefore$ Jadi, solusinya adalah $x = \boxed{-\frac32}$ atau $x = \boxed{\frac54}$.
4. Aplikasi Nilai Mutlak
1. Jarak Titik ke Garis
Untuk menentukan jarak titik $(x_0,y_0)$ ke garis $ax+by+c=0$ dapat dinyatakan dengan rumus berikut.
$\boxed{\text{Jarak}=\left|\frac{a(x_0)+b(y_0)+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|}$
Jarak dari titik $(2,3)$ ke garis $3x-4y+1=0$ adalah. . . .
a. $\frac15$
b. $\frac35$
c. $\frac55$
d. $\frac75$
e. $\frac85$
Jawab:
Diketahui:
Titik $\left(2,3\right)\rightarrow$ maka: $x_0=2$ dan $y_0=3$
Garis $3x-4y+1=0\rightarrow$ maka: $a=3$, $b=-4$, dan $c=1$
$\begin{array}{rcl}\text{Jarak}&=&\left|\frac{a(x_0)+b(y_0)+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\\&=&\left|\frac{3(2)-4(3)+1}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}\right|\\&=&\left|\frac{6-12+1}{\sqrt{9+16}}\right|\\&=&\left|\frac{-5}{\sqrt{25}}\right|\\&=&\left|\frac{-5}5\right|\\&=&\left|-1\right|\\&=&1\\&=&\boxed{\frac55}\end{array}$
Selisih dua besaran $A$ dan $B$ dapat dinyatakan dengan $\left|A-B\right|$ atau $\left|B-A\right|$.
Suatu pabrik memproduksi baut dengan diameter standar $21$ mm. Baut yang diproduksi dapat diterima jika diameternya memiliki selisih sebesar $0,85$ mm dari diameter standar. Model matematika dari permasalahan tersebut jika ukuran baut yang dapat diterima dinyatakan dalam $d$ adalah. . . .
a. $\left|d+21\right|=0,85$
b. $\left|d-21\right|=0,85$
c. $\left|d-0,85\right|=21$
d. $\left|d+0,85\right|=21$
e. $\left|d+0,85\right|=-21$
Jawab:
Misal:
$d=$ Diameter baut saat ini (sebenarnya)
$21=$ Diamater standar baut
$0,85=$ Selisih diameter baut agar dapat diterima
Selisih diameter baut adalah jarak antara diameter baut saat ini/sebenarnya ($d$) dengan diameter standar baut ($21$).
$\therefore$ Jadi, model matematika yang sesuai adalah $\boxed{\left|d-21\right|=0,85}$
Demikian pembahasan mengenai nilai mutlak mulai definisi nilai mutlak, sifat-sifat nilai mutlak, persamaan nilai mutlak satu variabel, dan aplikasi nilai mutlak dari kami. Semoga bermanfaat, ya!
0 Komentar